2.6. Cloreto de potássio: Uma expressão para a energia potencial de ligação da molécula de K C l é
U=A\left(\frac{R_{0}^{7}}{8 r^{8}}-\frac{1}{r}\right)
onde A e R_{0} são constantes. Utilizando essa aproximação encontre a componente radial da força sobre cada átomo. Para pequenas oscilações mostre que F \propto-x, onde x=r-R_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial radial da molécula de KCl como
U(r)=A\Bigl(\frac{R_{0}^{7}}{8\,r^{8}}-\frac{1}{r}\Bigr)
e pede duas coisas:
  1. Encontrar a componente radial da força sobre cada átomo usando a relação entre força e potencial.
  2. Mostrar que, para pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio r=R_{0}, a força se comporta como F\propto -x, onde x=r-R_{0}.
    O conteúdo necessário envolve cálculo de derivada e expansão de Taylor em torno de r=R_{0}.

Passo 2

A componente radial da força vem de
F(r)=-\frac{dU}{dr}.
Vamos calcular primeiro
\frac{dU}{dr} =A\Bigl(\frac{d}{dr}\frac{R_{0}^{7}}{8\,r^{8}}-\frac{d}{dr}\frac{1}{r}\Bigr) =A\Bigl(-\frac{R_{0}^{7}}{r^{9}}+\frac{1}{r^{2}}\Bigr).

Passo 3

Logo
F(r)=-\frac{dU}{dr} =A\Bigl(\frac{R_{0}^{7}}{r^{9}}-\frac{1}{r^{2}}\Bigr).

Passo 4

Verificamos que em r=R_{0} a força se anula (equilíbrio):
F(R_{0}) =A\Bigl(\frac{R_{0}^{7}}{R_{0}^{9}}-\frac{1}{R_{0}^{2}}\Bigr) =A\Bigl(\frac{1}{R_{0}^{2}}-\frac{1}{R_{0}^{2}}\Bigr)=0.
Para pequenas oscilações escrevemos r=R_{0}+x com |x|\ll R_{0} e fazemos a expansão de Taylor linear em torno de R_{0}. Precisamos de
F'(r) =A\Bigl(-9\frac{R_{0}^{7}}{r^{10}}+2\frac{1}{r^{3}}\Bigr),
então em r=R_{0}
F'(R_{0}) =A\Bigl(-9\frac{R_{0}^{7}}{R_{0}^{10}}+2\frac{1}{R_{0}^{3}}\Bigr) =-\frac{7A}{R_{0}^{3}}.

Passo 5

Pela expansão de Taylor até a ordem linear:
F(r)\approx F(R_{0})+F'(R_{0})\,(r-R_{0}) =-\frac{7A}{R_{0}^{3}}\,x,
logo para pequenas oscilações
F\propto -x.

Resposta

A componente radial da força é
F(r)=A\Bigl(\frac{R_{0}^{7}}{r^{9}}-\frac{1}{r^{2}}\Bigr),
e para x=r-R_{0} pequeno
F\approx -\frac{7A}{R_{0}^{3}}\,x\quad\bigl(\propto -x\bigr).

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