e pede: qual é a imagem no plano \zeta de uma circunferência centrada na origem do plano z e de raio R (com R>0)?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A curva original é a circunferência \{z\in\mathbb{C}:|z|=R\}.
A transformação é a aplicação \zeta(z)=z+C^{2}/z (mapa de Joukowski tipo).
Os parâmetros são reais positivos R e C.
Passo 2
Parametrizo a circunferência: qualquer ponto da circunferência pode ser escrito por Euler como
z = R e^{i\theta},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Breve explicação: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, então R e^{i\theta} descreve todos os pontos de módulo R ao variar \theta.
Observe que a>0 sempre. O sinal de b pode ser positivo, nulo ou negativo dependendo de R e C; para a equação da curva interessa |b|. As parametrizações ficam
Se R=C, então b=0 e a parametrização dá \eta\equiv0, \xi(\theta)=2C\cos\theta. A imagem degenerada é o segmento real
\{\zeta\in\mathbb{R}:-2C\le \zeta\le 2C\}.
Passo 8
Propriedade interessante (útil em prova): as distâncias dos focos da elipse ao centro são independentes de R. Calculo a distância focal c (semi-distância entre focos) quando a elipse é não degenerada (R\neq C e tomamos a_{\text{semi}}\ge b_{\text{semi}}):