Determine a imagem no plano z dada por uma circunferência de raio R e centro na origem do plano z submetida à transformação
\zeta=z+\frac{C^{2}}{z}, \quad \begin{aligned} & C \in \mathbb{R} \\\ & C>0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a transformação
\zeta=z+\frac{C^{2}}{z},\qquad C\in\mathbb{R},\\ C>0,
e pede: qual é a imagem no plano \zeta de uma circunferência centrada na origem do plano z e de raio R (com R>0)?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva original é a circunferência \{z\in\mathbb{C}:|z|=R\}.
  • A transformação é a aplicação \zeta(z)=z+C^{2}/z (mapa de Joukowski tipo).
  • Os parâmetros são reais positivos R e C.

Passo 2

Parametrizo a circunferência: qualquer ponto da circunferência pode ser escrito por Euler como
z = R e^{i\theta},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Breve explicação: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, então R e^{i\theta} descreve todos os pontos de módulo R ao variar \theta.

Passo 3

Substituo z=R e^{i\theta} na transformação:
\zeta(\theta)=R e^{i\theta}+\frac{C^{2}}{R}e^{-i\theta}.
Isto vem de \dfrac{C^{2}}{z}=\dfrac{C^{2}}{R e^{i\theta}}=\dfrac{C^{2}}{R}e^{-i\theta}.

Passo 4

Separo parte real e imaginária usando e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta e e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta:
\zeta(\theta)=\bigl(R\cos\theta+\tfrac{C^{2}}{R}\cos\theta\bigr) + i\bigl(R\sin\theta-\tfrac{C^{2}}{R}\sin\theta\bigr).
Defino \xi=\Re\zeta e \eta=\Im\zeta. Assim
\xi(\theta)=\Bigl(R+\frac{C^{2}}{R}\Bigr)\cos\theta, \qquad \eta(\theta)=\Bigl(R-\frac{C^{2}}{R}\Bigr)\sin\theta.

Passo 5

Chamo
a:=R+\frac{C^{2}}{R},\qquad b:=R-\frac{C^{2}}{R}.
Observe que a>0 sempre. O sinal de b pode ser positivo, nulo ou negativo dependendo de R e C; para a equação da curva interessa |b|. As parametrizações ficam
\xi(\theta)=a\cos\theta,\qquad \eta(\theta)=b\sin\theta.

Passo 6

Elimino o parâmetro \theta. Divido e somo os quadrados:
\frac{\xi^{2}}{a^{2}}=\cos^{2}\theta,\qquad \frac{\eta^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}\theta,
logo, somando,
\frac{\xi^{2}}{a^{2}}+\frac{\eta^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Portanto a imagem satisfaz a equação
\frac{(\Re\zeta)^{2}}{\bigl(R+\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}} +\frac{(\Im\zeta)^{2}}{\bigl(R-\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}}=1.

Passo 7

Interpretação geométrica:
  • Se R\neq C, a equação acima é a de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos (valores absolutos)
a_{\text{semi}}=R+\frac{C^{2}}{R},\qquad b_{\text{semi}}=\Bigl|R-\frac{C^{2}}{R}\Bigr|.
  • Se R=C, então b=0 e a parametrização dá \eta\equiv0, \xi(\theta)=2C\cos\theta. A imagem degenerada é o segmento real
\{\zeta\in\mathbb{R}:-2C\le \zeta\le 2C\}.

Passo 8

Propriedade interessante (útil em prova): as distâncias dos focos da elipse ao centro são independentes de R. Calculo a distância focal c (semi-distância entre focos) quando a elipse é não degenerada ( R\neq C e tomamos a_{\text{semi}}\ge b_{\text{semi}}):
c=\sqrt{a_{\text{semi}}^{2}-b_{\text{semi}}^{2}} =\sqrt{\bigl(R+\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}-\bigl(R-\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}} =\sqrt{4C^{2}}=2C.
Logo os focos ficam nos pontos \pm 2C do eixo real (independente de R). No caso degenerado R=C a elipse colapsa exatamente no segmento entre os focos.

Resposta

\frac{(\Re\zeta)^{2}}{\bigl(R+\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}}+\frac{(\Im\zeta)^{2}}{\bigl(R-\tfrac{C^{2}}{R}\bigr)^{2}}=1.
Se R=C a imagem degenera para o segmento real \{\zeta\in\mathbb{R}:-2C\le \zeta\le 2C\}.

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