Faça o que se pede:
(a) Crie um exemplo em que três eventos A, B e C formam uma partição de um espaço amostral \Omega.
(b) Mostre que os eventos criados realmente formam uma partição de \Omega.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: \n
(a) criar um exemplo concreto em que três eventos A, B e C formam uma partição de um espaço amostral \Omega; \n
(b) mostrar que os eventos criados realmente formam uma partição de \Omega. \n
Informações dadas: nenhuma além do pedido acima (posso escolher o espaço amostral e os eventos).

Passo 2

Vamos primeiro lembrar claramente o que significa “formar uma partição” (essa é a ferramenta que vamos usar). \n
Definição: uma família \{A,B,C\} de subconjuntos de \Omega forma uma partição de \Omega quando: \n
  1. cada conjunto é não vazio: A\neq\varnothing, B\neq\varnothing, C\neq\varnothing; \n
  2. são dois a dois disjuntos (ou seja, “não se sobrepõem”): A\cap B=\varnothing, A\cap C=\varnothing, B\cap C=\varnothing; \n
  3. a união dos três é todo o espaço amostral: A\cup B\cup C=\Omega. \n
    Explicação das condições, de modo simples: \n
  • Condição 1 evita conjuntos vazios (algumas definições permitem vazios, mas aqui vamos garantir que cada evento contenha algo). \n
  • Condição 2 significa que nenhum resultado pertence a mais de um evento da partição. \n
  • Condição 3 garante que todo resultado possível está coberto por algum dos eventos. \n
    Agora vamos criar um exemplo fácil de verificar.

Passo 3

Escolho um exemplo muito concreto e familiar: o lançamento de um dado comum de seis faces. \n
Defino o espaço amostral \Omega e os eventos A,B,C assim: \n
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}
A=\{1,2\}
B=\{3,4\}
C=\{5,6\}
Comentário curto: aqui cada número representa o resultado do dado. Esses três conjuntos cobrem todas as faces e não se sobrepõem à primeira vista.

Passo 4

Verificação da condição 1 (não vazios). \n
Mostro que cada conjunto contém pelo menos um elemento: \n
A=\{1,2\}\neq\varnothing,\qquad B=\{3,4\}\neq\varnothing,\qquad C=\{5,6\}\neq\varnothing.
Explicação: cada conjunto tem exatamente dois elementos, portanto não é vazio.

Passo 5

Verificação da condição 2 (disjunção par a par). \n
Calculo as interseções: \n
A\cap B=\{1,2\}\cap\{3,4\}=\varnothing,
A\cap C=\{1,2\}\cap\{5,6\}=\varnothing,
B\cap C=\{3,4\}\cap\{5,6\}=\varnothing.
Explicação passo a passo: a interseção de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que aparecem em ambos; aqui nenhum número aparece em dois conjuntos diferentes, logo todas as interseções são o conjunto vazio \varnothing.

Passo 6

Verificação da condição 3 (união cobre \Omega). \n
Faço a união dos três conjuntos: \n
A\cup B\cup C=\{1,2\}\cup\{3,4\}\cup\{5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega.
Explicação: ao juntar todos os elementos de A, B e C obtemos exatamente os seis resultados possíveis do dado, isto é, todo o espaço amostral.

Passo 7

Conclusão: como as três condições da definição de partição foram satisfeitas — (1) não-vazios, (2) disjuntos dois a dois, (3) união igual a \Omega — concluímos que \{A,B,C\} forma uma partição de \Omega. \n
Observação encorajadora: este é um exemplo padrão e fácil de checar; na prova, sempre verifique essas três propriedades uma a uma, como fiz aqui.

Resposta

(a) \displaystyle \Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\quad A=\{1,2\},\quad B=\{3,4\},\quad C=\{5,6\}.\n
(b) Sim. Temos A\neq\varnothing, B\neq\varnothing, C\neq\varnothing; A\cap B=A\cap C=B\cap C=\varnothing; e A\cup B\cup C=\Omega. Portanto \{A,B,C\} é uma partição de \Omega.

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