Faça o que se pede:
(a) Crie um exemplo em que três eventos
e
formam uma partição de um espaço amostral
.
(b) Mostre que os eventos criados realmente formam uma partição de
.
(a) Crie um exemplo em que três eventos
(b) Mostre que os eventos criados realmente formam uma partição de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: \n
(a) criar um exemplo concreto em que três eventos ,
e
formam uma partição de um espaço amostral
; \n
(b) mostrar que os eventos criados realmente formam uma partição de . \n
Informações dadas: nenhuma além do pedido acima (posso escolher o espaço amostral e os eventos).
(a) criar um exemplo concreto em que três eventos
(b) mostrar que os eventos criados realmente formam uma partição de
Informações dadas: nenhuma além do pedido acima (posso escolher o espaço amostral e os eventos).
Passo 2
Vamos primeiro lembrar claramente o que significa “formar uma partição” (essa é a ferramenta que vamos usar). \n
Definição: uma família de subconjuntos de
forma uma partição de
quando: \n
Definição: uma família
- cada conjunto é não vazio:
, , ; \n - são dois a dois disjuntos (ou seja, “não se sobrepõem”):
, , ; \n - a união dos três é todo o espaço amostral:
. \n
Explicação das condições, de modo simples: \n
- Condição 1 evita conjuntos vazios (algumas definições permitem vazios, mas aqui vamos garantir que cada evento contenha algo). \n
- Condição 2 significa que nenhum resultado pertence a mais de um evento da partição. \n
- Condição 3 garante que todo resultado possível está coberto por algum dos eventos. \n
Agora vamos criar um exemplo fácil de verificar.
Passo 3
Escolho um exemplo muito concreto e familiar: o lançamento de um dado comum de seis faces. \n
Defino o espaço amostral e os eventos
assim: \n
Defino o espaço amostral
Comentário curto: aqui cada número representa o resultado do dado. Esses três conjuntos cobrem todas as faces e não se sobrepõem à primeira vista.
Passo 4
Verificação da condição 1 (não vazios). \n
Mostro que cada conjunto contém pelo menos um elemento: \n
Mostro que cada conjunto contém pelo menos um elemento: \n
Explicação: cada conjunto tem exatamente dois elementos, portanto não é vazio.
Passo 5
Verificação da condição 2 (disjunção par a par). \n
Calculo as interseções: \n
Calculo as interseções: \n
Explicação passo a passo: a interseção de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que aparecem em ambos; aqui nenhum número aparece em dois conjuntos diferentes, logo todas as interseções são o conjunto vazio
.
Passo 6
Verificação da condição 3 (união cobre
). \n
Faço a união dos três conjuntos: \n
Faço a união dos três conjuntos: \n
Explicação: ao juntar todos os elementos de
,
e
obtemos exatamente os seis resultados possíveis do dado, isto é, todo o espaço amostral.
Passo 7
Conclusão: como as três condições da definição de partição foram satisfeitas — (1) não-vazios, (2) disjuntos dois a dois, (3) união igual a
— concluímos que
forma uma partição de
. \n
Observação encorajadora: este é um exemplo padrão e fácil de checar; na prova, sempre verifique essas três propriedades uma a uma, como fiz aqui.
Observação encorajadora: este é um exemplo padrão e fácil de checar; na prova, sempre verifique essas três propriedades uma a uma, como fiz aqui.
Resposta
(a)
\n
(b) Sim. Temos ,
,
;
; e
. Portanto
é uma partição de
.
(b) Sim. Temos