Sabe-se que, em uma determinada universidade, a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente gostar de Estatística é igual a 0,6 , de Cálculo é igual a 0,3 e das duas disciplinas, é igual a 0,1 .
(a) Calcule a probabilidade de que o estudante selecionado goste de pelo menos uma das duas disciplinas.
(b) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado não goste de nenhuma das duas disciplinas?
(c) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado goste de Estatística, dado que ele goste de Cálculo?

Passo 1

Dados fornecidos:
P(E)=0,6
P\text{(C)}=0,3
P(E\cap C)=0,1
Aqui E é o evento “o estudante gosta de Estatística” e C é o evento “o estudante gosta de Cálculo” (apenas nomeei para facilitar). Perguntas:
(a) Calcular P(E\cup C), ou seja, a probabilidade de o estudante gostar de pelo menos uma das duas disciplinas.
(b) Calcular P\bigl((E\cup C)^c\bigr), ou seja, a probabilidade de o estudante não gostar de nenhuma das duas.
(c) Calcular P(E\mid C), ou seja, a probabilidade de gostar de Estatística sabendo que gosta de Cálculo.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática, passo a passo):
  • E\cap C é a interseção: aluno que gosta de ambas.
  • E\cup C é a união: aluno que gosta de pelo menos uma.
  • Regra da união (para evitar contagem dupla): quando somamos P(E) e P\text{(C)} estamos contando duas vezes quem gosta das duas; por isso usamos a fórmula de inclusão-exclusão:
P(E\cup C)=P(E)+P\text{(C)}-P(E\cap C).
Expliquei: P(E)+P\text{(C)} conta quem gosta só de E e só de C e também conta duas vezes quem gosta das duas; subtraindo P(E\cap C) corrigimos essa dupla contagem.
  • Complemento: a probabilidade de “nenhuma” é
P\bigl((E\cup C)^c\bigr)=1-P(E\cup C),
pois o evento “nenhuma” e o evento “pelo menos uma” são complementares.
  • Probabilidade condicional: a probabilidade de E dado C é
P(E\mid C)=\frac{P(E\cap C)}{P\text{(C)}},
ou seja, da fração dos que gostam de C, qual proporção também gosta de E. Aqui P\text{(C)} deve ser maior que zero (no nosso caso P\text{(C)}=0,3, ok).

Passo 3

Resolvendo (a) usando a fórmula de inclusão-exclusão:
P(E\cup C)=P(E)+P\text{(C)}-P(E\cap C)
Substituindo os valores dados:
P(E\cup C)=0,6+0,3-0,1.
Calculando passo a passo:
0,6+0,3=0,9,
0,9-0,1=0,8.
Portanto, P(E\cup C)=0,8.

Passo 4

Resolvendo (b) pelo complemento:
P\bigl((E\cup C)^c\bigr)=1-P(E\cup C).
Usando o resultado de (a):
P\bigl((E\cup C)^c\bigr)=1-0,8=0,2.
Ou seja, há probabilidade 0,2 de o estudante não gostar de nenhuma das duas disciplinas.

Passo 5

Resolvendo (c) pela definição de probabilidade condicional:
P(E\mid C)=\frac{P(E\cap C)}{P\text{(C)}}.
Substituindo os valores:
P(E\mid C)=\frac{0,1}{0,3}.
Simplificando a fração:
\frac{0,1}{0,3}=\frac{1}{3}\approx 0,333.
Interpretação: entre os estudantes que gostam de Cálculo, cerca de um terço também gosta de Estatística.

Passo 6

Checagem rápida de consistência:
  • P(E\cup C)=0,8 e P((E\cup C)^c)=0,2 somam 1, ok.
  • P(E\cap C)=0,1 é menor que P\text{(C)}=0,3, então a condicional P(E\mid C)=\dfrac{1}{3} faz sentido (é uma fração entre 0 e 1).
    Força aí — essas fórmulas são padrão e rápidas de aplicar na prova: inclusão-exclusão para unir eventos, complemento para “nenhum”, e definição de condicional para “dado que”.

Resposta

(a) 0,8
(b) 0,2
(c) \dfrac{1}{3}\approx 0,333

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