Sabe-se que, em uma determinada universidade, a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente gostar de Estatística é igual a 0,6 , de Cálculo é igual a 0,3 e das duas disciplinas, é igual a 0,1 .
(a) Calcule a probabilidade de que o estudante selecionado goste de pelo menos uma das duas disciplinas.
(b) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado não goste de nenhuma das duas disciplinas?
(c) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado goste de Estatística, dado que ele goste de Cálculo?
(a) Calcule a probabilidade de que o estudante selecionado goste de pelo menos uma das duas disciplinas.
(b) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado não goste de nenhuma das duas disciplinas?
(c) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado goste de Estatística, dado que ele goste de Cálculo?
Passo 1
Dados fornecidos:
Aqui
é o evento “o estudante gosta de Estatística” e
é o evento “o estudante gosta de Cálculo” (apenas nomeei para facilitar). Perguntas:
(a) Calcular , ou seja, a probabilidade de o estudante gostar de pelo menos uma das duas disciplinas.
(b) Calcular , ou seja, a probabilidade de o estudante não gostar de nenhuma das duas.
(c) Calcular , ou seja, a probabilidade de gostar de Estatística sabendo que gosta de Cálculo.
(a) Calcular
(b) Calcular
(c) Calcular
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática, passo a passo):
-
é a interseção: aluno que gosta de ambas. -
é a união: aluno que gosta de pelo menos uma. - Regra da união (para evitar contagem dupla): quando somamos
e estamos contando duas vezes quem gosta das duas; por isso usamos a fórmula de inclusão-exclusão:
Expliquei:
conta quem gosta só de
e só de
e também conta duas vezes quem gosta das duas; subtraindo
corrigimos essa dupla contagem.
- Complemento: a probabilidade de “nenhuma” é
pois o evento “nenhuma” e o evento “pelo menos uma” são complementares.
- Probabilidade condicional: a probabilidade de
dado é
ou seja, da fração dos que gostam de
, qual proporção também gosta de
. Aqui
deve ser maior que zero (no nosso caso
, ok).
Passo 3
Resolvendo (a) usando a fórmula de inclusão-exclusão:
Substituindo os valores dados:
Calculando passo a passo:
Portanto,
.
Passo 4
Resolvendo (b) pelo complemento:
Usando o resultado de (a):
Ou seja, há probabilidade
de o estudante não gostar de nenhuma das duas disciplinas.
Passo 5
Resolvendo (c) pela definição de probabilidade condicional:
Substituindo os valores:
Simplificando a fração:
Interpretação: entre os estudantes que gostam de Cálculo, cerca de um terço também gosta de Estatística.
Passo 6
Checagem rápida de consistência:
-
e somam 1, ok. -
é menor que , então a condicional faz sentido (é uma fração entre 0 e 1).
Força aí — essas fórmulas são padrão e rápidas de aplicar na prova: inclusão-exclusão para unir eventos, complemento para “nenhum”, e definição de condicional para “dado que”.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)