Um clube de futebol tem vendido 11 mil ingressos e cobrado 12 reais por cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada real de desconto no valor do ingresso, a quantidade de ingressos vendidos aumenta em 1000. Como os donos desse clube devem definir o preço do ingresso para maximizar o lucro total com as vendas?

Passo 1

O enunciado diz que, atualmente, vendem-se 11000 ingressos ao preço de 12 reais cada. A pesquisa indica que, para cada real de desconto, a venda aumenta em 1000 ingressos. O objetivo é encontrar o preço que maximiza a receita total. Vamos usar modelagem de demanda linear e otimização de uma função quadrática de receita.

Passo 2

Definimos x como o valor do desconto em reais.
Então o preço do ingresso fica
p(x)=12 - x
e a quantidade vendida é
Q(x)=11000 + 1000,x

Passo 3

A receita R em função de x é
R(x)=p(x),Q(x)=(12 - x),(11000 + 1000,x)
Expandindo,
R(x)=132000 +1000,x -1000,x^2
que é uma parábola voltada para baixo.

Passo 4

Para maximizar R(x), usamos a fórmula do vértice de uma parábola ax^2+bx+c, dado por x^*=-tfracb2a. Aqui a=-1000 e b=1000, logo
x^*=-10002cdot(-1000)=0,5

Passo 5

O desconto ótimo é x^*=0,5 real, portanto o preço que maximiza a receita é
p^*=12 - 0,5 =11,5 reais

Resposta

O clube deve cobrar 11,50 reais por ingresso.

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