Um clube de futebol tem vendido 11 mil ingressos e cobrado 12 reais por cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada real de desconto no valor do ingresso, a quantidade de ingressos vendidos aumenta em 1000. Como os donos desse clube devem definir o preço do ingresso para maximizar o lucro total com as vendas?
Passo 1
O enunciado diz que, atualmente, vendem-se
ingressos ao preço de
reais cada. A pesquisa indica que, para cada real de desconto, a venda aumenta em
ingressos. O objetivo é encontrar o preço que maximiza a receita total. Vamos usar modelagem de demanda linear e otimização de uma função quadrática de receita.
Passo 2
Definimos
como o valor do desconto em reais.
Então o preço do ingresso fica
Então o preço do ingresso fica
e a quantidade vendida é
Passo 3
A receita
em função de
é
Expandindo,
que é uma parábola voltada para baixo.
Passo 4
Para maximizar
, usamos a fórmula do vértice de uma parábola
, dado por
. Aqui
e
, logo
Passo 5
O desconto ótimo é
real, portanto o preço que maximiza a receita é
Resposta
O clube deve cobrar
reais por ingresso.