Um clube tem 200 membros dos quais 36 jogam tenis, 28 jogam squash e 18 jogam badminton. Além disso, 22 membros jogam ambos tenis e squash, 12 jogam tenis e badminton, 9 jogam squash e badminton, e 4 jogam os três esportes. Qual a probabilidade de um membro do clube jogar ao menos um dos esportes?

Passo 1

Resumo do enunciado: num clube de 200 pessoas, temos:
  • 36 jogam tênis (conjunto )
  • 28 jogam squash (conjunto )
  • 18 jogam badminton (conjunto )
  • 22 jogam
  • 12 jogam
  • 9 jogam
  • 4 jogam
Conteúdo: probabilidade básica + teoria de conjuntos (princípio da inclusão-exclusão).
O que vamos precisar: entender como contar o total de pessoas que jogam ao menos um esporte usando o princípio da inclusão-exclusão e depois dividir pelo total de 200 pra virar probabilidade.

Passo 2

Teoria (princípio da inclusão-exclusão):
Para três conjuntos |Tcup Scup B| =|T|+|S|+|B| -|(Tcap S)|-|(Tcap B)|-|(Scap B)| +|(Tcap Scap B)| , o número de elementos em pelo menos um é
Por que subtrai e soma assim?
  • Primeiro somamos todos os de .
  • As interseções , etc., ficaram contadas duas vezes, então subtraímos.
  • Mas quem joga os três esportes ( ) foi subtraído três vezes, e só entrou uma vez na soma, então precisamos soma-lo de volta uma vez.

Passo 3

Aplicando os números:
|Tcup Scup B| =36+28+18 -(22+12+9) +4
Vamos a conta:
  1. Soma dos individuais: |Tcup Scup B| = 36 + 28 + 18 ;-; (22+12+9) ;+; 4 = 43 .
  2. Soma das pares: .
  3. Então .
  4. Finalmente somamos o triplo: .
Ou diretamente em LaTeX:

Passo 4

Agora, probabilidade de um membro qualquer jogar ao menos um desses esportes =
nº de membros que jogam ao menos umtotal de membros = 43200 º
Em decimal, isso dá , ou seja .

Resposta

A probabilidade é (21,5%).

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