Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
b)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)x^2sin^2yx^2+2y^2
O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis. Vamos usar estimativas e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para facilitar, usamos a desigualdade clássica
|sin y|<=|y| Longrightarrow sin^2y<= y^2
Logo,
|x^2sin^2yx^2+2y^2| <=x^2,y^2x^2+2y^2

Passo 3

Note que x^2+2y^2>= x^2, então
x^2,y^2x^2+2y^2 <=x^2,y^2x^2 =y^2
Portanto
|x^2sin^2yx^2+2y^2|<= y^2

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)y^2=0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0)x^2sin^2yx^2+2y^2=0

Resposta

0

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