(CM) Seja S o conjunto dos números naturais pares. As operações que podem ser aplicadas a um par de elementos quaisquer do conjunto S e que produzem apenas elementos do próprio conjunto S são:
a) Adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
b) Adição, subtração, multiplicação e divisão.
c) Adição, subtração e multiplicação
d) Adição, multiplicação e potenciação
e) Adição e multiplicação.

Passo 1

O enunciado dá que S é o conjunto dos números naturais pares. Preciso escolher, entre as alternativas dadas, quais operações binárias aplicadas a quaisquer dois elementos de S sempre produzem um elemento que permanece em S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • S=\{\text{números naturais pares}\}ú.
  • As alternativas testam fechamento de S pelas operações: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação (em várias combinações).
  • A pergunta é: quais das operações listadas em cada alternativa têm a propriedade de que, para quaisquer a,b\in S, o resultado da operação também pertence a S?

Passo 2

Vou representar de forma algébrica um número par genérico. Isso facilita provar propriedades de fechamento.
Se a é par, existe m\in\mathbb{N} tal que a=2m.
Se b é par, existe n\in\mathbb{N} tal que b=2n.
Explicando o porquê dessa representação: um número é par quando é múltiplo de 2; escrever a=2m e b=2n é a forma padrão para trabalhar com pares de maneira algébrica e generalizar argumentos.

Passo 3

Testando adição: calcular a+b com a=2m e b=2n.
a+b = 2m + 2n = 2(m+n).
O termo m+n é um natural, logo a+b é múltiplo de 2 e pertence a S. Conclusão: S é fechado para adição (para quaisquer a,b\in S, a+b\in S).
Didática rápida: somar dois pares dá sempre par porque cada um contribui com um fator 2; o fator 2 pode ser posto em evidência.

Passo 4

Testando multiplicação: calcular a\cdot b com a=2m e b=2n.
a\cdot b = (2m)(2n) = 4(mn) = 2\bigl(2mn\bigr).
Como 2mn é natural, a\cdot b é múltiplo de 2 e pertence a S. Conclusão: S é fechado para multiplicação.
Didática rápida: o produto de dois pares tem pelo menos um fator 2 (na verdade dois), por isso é par.

Passo 5

Testando subtração: preciso verificar se para quaisquer a,b\in S, o número a-b está em S.
Um contraexemplo simples resolve isso: escolha a=2 e b=4 (ambos pares, portanto a,b\in S). Então
a-b = 2-4 = -2.
Problema: -2 não é número natural (naturais não incluem negativos). Logo existe ao menos um par (a,b)\in S\times S cuja subtração não está em S. Conclusão: S não é fechado para subtração.
Didática rápida: mesmo quando a diferença é par enquanto número inteiro, pode não ser natural (poderá ser zero ou negativo). Fechamento exige que o resultado esteja em S para todos os pares, e aqui falha.

Passo 6

Testando divisão: novamente basta um contraexemplo. Tome a=2 e b=4. Então
\frac{a}{b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},
que não é número natural (nem inteiro). Portanto a divisão de dois pares pode não pertencer a S. Conclusão: S não é fechado para divisão.
Didática rápida: divisão de inteiros nem sempre dá inteiro; fechamento em um subconjunto dos naturais exige resultado natural (e par), o que não ocorre aqui.

Passo 7

Testando potenciação: analisar a^b com a=2m e b=2n.
Se b\ge 1, então a^b=(2m)^{b} contém pelo menos um fator 2 na multiplicação repetida, logo a^b é par; algebraicamente,
(2m)^{b} = 2\bigl((2m)^{b-1}m\bigr)
e o termo entre parênteses é natural, portanto a^b é múltiplo de 2.
Porém existe uma sutileza ligada à convenção sobre \mathbb{N}: se a definição de números naturais usada aceitar 0 (ou seja, se 0\in\mathbb{N}), então 0 é par e pertence a S. Nesse caso pode escolher a=2 e b=0 (ambos em S) e obter
a^b = 2^{0} = 1,
que não é par, portanto não pertence a S. Assim, sob a convenção \,0\in\mathbb{N}\, a potenciação NÃO é fechada em S.
Se, por outro lado, a convenção adotada excluir 0 de \mathbb{N} (ou seja, \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}), então todos os expoentes em S são \ge 2 e o argumento inicial mostra que a^b é sempre par, então S seria fechado para potenciação nessa convenção.
Comentário sobre escolha: o enunciado não especifica se 0\in\mathbb{N}. Em muitas situações (e em muitos exercícios) a convenção mais comum é admitir 0 como natural; adotando essa convenção, encontra-se um contraexemplo para a potenciação. Mesmo sem assumir 0, já vimos que subtração e divisão falham. Para decidir corretamente numa prova objetiva, usa-se a convenção que torne a alternativa correta única: considerar 0\in\mathbb{N} é razoável e então a potenciação falha.

Passo 8

Resumo das conclusões (usando a convenção usual que inclui 0 entre os naturais, o que torna a escolha única):
  • Adição: fechado (sempre gera par natural).
  • Multiplicação: fechado (sempre gera par natural).
  • Subtração: não fechado (ex.: 2-4=-2 não natural).
  • Divisão: não fechado (ex.: 2/4=1/2 não natural).
  • Potenciação: não fechado se 0\in\mathbb{N} (ex.: 2^0=1 não par).
Portanto só adição e multiplicação sempre produzem elementos de S.

Resposta

e) Adição e multiplicação.

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