(CM) Seja S o conjunto dos números naturais pares. As operações que podem ser aplicadas a um par de elementos quaisquer do conjunto
e que produzem apenas elementos do próprio conjunto S são:
a) Adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
b) Adição, subtração, multiplicação e divisão.
c) Adição, subtração e multiplicação
d) Adição, multiplicação e potenciação
e) Adição e multiplicação.
a) Adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
b) Adição, subtração, multiplicação e divisão.
c) Adição, subtração e multiplicação
d) Adição, multiplicação e potenciação
e) Adição e multiplicação.
Passo 1
O enunciado dá que
é o conjunto dos números naturais pares. Preciso escolher, entre as alternativas dadas, quais operações binárias aplicadas a quaisquer dois elementos de
sempre produzem um elemento que permanece em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - As alternativas testam fechamento de
pelas operações: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação (em várias combinações). - A pergunta é: quais das operações listadas em cada alternativa têm a propriedade de que, para quaisquer
, o resultado da operação também pertence a ?
Passo 2
Vou representar de forma algébrica um número par genérico. Isso facilita provar propriedades de fechamento.
Se
é par, existe
tal que
.
Se é par, existe
tal que
.
Se
Explicando o porquê dessa representação: um número é par quando é múltiplo de
; escrever
e
é a forma padrão para trabalhar com pares de maneira algébrica e generalizar argumentos.
Passo 3
Testando adição: calcular
com
e
.
O termo
é um natural, logo
é múltiplo de
e pertence a
. Conclusão:
é fechado para adição (para quaisquer
,
).
Didática rápida: somar dois pares dá sempre par porque cada um contribui com um fator
; o fator
pode ser posto em evidência.
Passo 4
Testando multiplicação: calcular
com
e
.
Como
é natural,
é múltiplo de
e pertence a
. Conclusão:
é fechado para multiplicação.
Didática rápida: o produto de dois pares tem pelo menos um fator
(na verdade dois), por isso é par.
Passo 5
Testando subtração: preciso verificar se para quaisquer
, o número
está em
.
Um contraexemplo simples resolve isso: escolha
e
(ambos pares, portanto
). Então
Problema:
não é número natural (naturais não incluem negativos). Logo existe ao menos um par
cuja subtração não está em
. Conclusão:
não é fechado para subtração.
Didática rápida: mesmo quando a diferença é par enquanto número inteiro, pode não ser natural (poderá ser zero ou negativo). Fechamento exige que o resultado esteja em
para todos os pares, e aqui falha.
Passo 6
Testando divisão: novamente basta um contraexemplo. Tome
e
. Então
que não é número natural (nem inteiro). Portanto a divisão de dois pares pode não pertencer a
. Conclusão:
não é fechado para divisão.
Didática rápida: divisão de inteiros nem sempre dá inteiro; fechamento em um subconjunto dos naturais exige resultado natural (e par), o que não ocorre aqui.
Passo 7
Testando potenciação: analisar
com
e
.
Se
, então
contém pelo menos um fator
na multiplicação repetida, logo
é par; algebraicamente,
e o termo entre parênteses é natural, portanto
é múltiplo de
.
Porém existe uma sutileza ligada à convenção sobre
: se a definição de números naturais usada aceitar
(ou seja, se
), então
é par e pertence a
. Nesse caso pode escolher
e
(ambos em
) e obter
que não é par, portanto não pertence a
. Assim, sob a convenção
a potenciação NÃO é fechada em
.
Se, por outro lado, a convenção adotada excluir
de
(ou seja,
), então todos os expoentes em
são
e o argumento inicial mostra que
é sempre par, então
seria fechado para potenciação nessa convenção.
Comentário sobre escolha: o enunciado não especifica se
. Em muitas situações (e em muitos exercícios) a convenção mais comum é admitir
como natural; adotando essa convenção, encontra-se um contraexemplo para a potenciação. Mesmo sem assumir
, já vimos que subtração e divisão falham. Para decidir corretamente numa prova objetiva, usa-se a convenção que torne a alternativa correta única: considerar
é razoável e então a potenciação falha.
Passo 8
Resumo das conclusões (usando a convenção usual que inclui
entre os naturais, o que torna a escolha única):
- Adição: fechado (sempre gera par natural).
- Multiplicação: fechado (sempre gera par natural).
- Subtração: não fechado (ex.:
não natural). - Divisão: não fechado (ex.:
não natural). - Potenciação: não fechado se
(ex.: não par).
Portanto só adição e multiplicação sempre produzem elementos de
.
Resposta
e) Adição e multiplicação.