(ENEM) Seja n um número qualquer, inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por 2; se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Esse procedimento deve ser repetido até que se obtenha como resultado final o número 1. Assim, por exemplo, se
, tem-se:
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado 1. Nessas condições, se
, o número de passagens necessárias para obter-se o resultado final 1 será:
a) 7
b) 8
c) 11
d) 14
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado 1. Nessas condições, se
a) 7
b) 8
c) 11
d) 14
Passo 1
O enunciado dá um procedimento recorrente para um número inteiro positivo
:
- Se
é par, dividir por . - Se
é ímpar, calcular .
Repetir esse procedimento até que o resultado final seja.
Foi fornecido o exemploque gera a sequência
e foi informado que foram necessárias 9 passagens até obter
.
A pergunta é: para , qual é o número de passagens necessárias até obter o resultado final
? As opções são:
a) 7 \quad b) 8 \quad c) 11 \quad d) 14
A pergunta é: para
a) 7 \quad b) 8 \quad c) 11 \quad d) 14
Passo 2
Primeiro é importante definir precisamente o que significa “passagem”: é cada aplicação da regra que transforma um número no próximo da sequência — ou seja, cada seta
conta como uma passagem. No exemplo dado, a sequência tem 10 números (do
até o
), logo
passagens, que é o que o enunciado declarou. Vamos usar a mesma convenção para
.
Agora vamos aplicar a regra passo a passo, verificando a paridade (par ou ímpar) e fazendo a operação correspondente. Dica prática: quando o número for par, normalmente convém dividir por
tantas vezes quanto possível sem perder o controle; quando for ímpar, calcular
(faça a multiplicação e some
de forma explícita para não errar).
Passo 3
Começamos com
. Como
é ímpar, aplicamos
:
Contador de passagens:
.
Passo 4
Agora
é par, dividimos por
:
Contador de passagens:
.
Passo 5
Com
(ímpar), aplicamos
:
Contador de passagens:
.
Passo 6
Contador de passagens:
.
Passo 7
Contador de passagens:
.
Passo 8
Contador de passagens:
.
Passo 9
(contador:
),
(contador:
).
Passo 10
Continuando:
(contador:
),
(contador:
).
Passo 11
Agora seguimos com os pares que levam rapidamente a
:
(contador:
),
(contador:
),
(contador:
),
(contador:
).
Chegamos em
.
Resposta
d)