(ENEM) Seja n um número qualquer, inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por 2; se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Esse procedimento deve ser repetido até que se obtenha como resultado final o número 1. Assim, por exemplo, se \mathrm{n}=12, tem-se:
12 \Rightarrow 6 \Rightarrow 3 \Rightarrow 10 \Rightarrow 5 \Rightarrow 16 \Rightarrow 8 \Rightarrow 4 \Rightarrow 2 \Rightarrow 1
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado 1. Nessas condições, se n=11, o número de passagens necessárias para obter-se o resultado final 1 será:
a) 7
b) 8
c) 11
d) 14

Passo 1

O enunciado dá um procedimento recorrente para um número inteiro positivo n:
  • Se n é par, dividir por 2.
  • Se n é ímpar, calcular 3n+1.
    Repetir esse procedimento até que o resultado final seja 1.
    Foi fornecido o exemplo n=12 que gera a sequência
12 \Rightarrow 6 \Rightarrow 3 \Rightarrow 10 \Rightarrow 5 \Rightarrow 16 \Rightarrow 8 \Rightarrow 4 \Rightarrow 2 \Rightarrow 1,
e foi informado que foram necessárias 9 passagens até obter 1.
A pergunta é: para n=11, qual é o número de passagens necessárias até obter o resultado final 1? As opções são:
a) 7 \quad b) 8 \quad c) 11 \quad d) 14

Passo 2

Primeiro é importante definir precisamente o que significa “passagem”: é cada aplicação da regra que transforma um número no próximo da sequência — ou seja, cada seta \Rightarrow conta como uma passagem. No exemplo dado, a sequência tem 10 números (do 12 até o 1), logo 10-1=9 passagens, que é o que o enunciado declarou. Vamos usar a mesma convenção para n=11.
Agora vamos aplicar a regra passo a passo, verificando a paridade (par ou ímpar) e fazendo a operação correspondente. Dica prática: quando o número for par, normalmente convém dividir por 2 tantas vezes quanto possível sem perder o controle; quando for ímpar, calcular 3n+1 (faça a multiplicação e some 1 de forma explícita para não errar).

Passo 3

Começamos com n=11. Como 11 é ímpar, aplicamos 3n+1:
11 \Rightarrow 3\cdot 11 + 1 = 33 + 1 = 34.
Contador de passagens: 1.

Passo 4

Agora 34 é par, dividimos por 2:
34 \Rightarrow 34 \div 2 = 17.
Contador de passagens: 2.

Passo 5

Com 17 (ímpar), aplicamos 3n+1:
17 \Rightarrow 3\cdot 17 + 1 = 51 + 1 = 52.
Contador de passagens: 3.

Passo 6

52 é par. Dividimos por 2:
52 \Rightarrow 52 \div 2 = 26.
Contador de passagens: 4.

Passo 7

26 é par. Dividimos por 2:
26 \Rightarrow 26 \div 2 = 13.
Contador de passagens: 5.

Passo 8

13 é ímpar. Aplicamos 3n+1:
13 \Rightarrow 3\cdot 13 + 1 = 39 + 1 = 40.
Contador de passagens: 6.

Passo 9

40 é par. Podemos dividir por 2 repetidamente:
40 \Rightarrow 40 \div 2 = 20
(contador: 7),
20 \Rightarrow 20 \div 2 = 10
(contador: 8).

Passo 10

Continuando:
10 \Rightarrow 10 \div 2 = 5
(contador: 9),
5 \Rightarrow 3\cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16
(contador: 10).

Passo 11

Agora seguimos com os pares que levam rapidamente a 1:
16 \Rightarrow 16 \div 2 = 8
(contador: 11),
8 \Rightarrow 8 \div 2 = 4
(contador: 12),
4 \Rightarrow 4 \div 2 = 2
(contador: 13),
2 \Rightarrow 2 \div 2 = 1
(contador: 14).
Chegamos em 1.

Resposta

d) 14

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