(CN 2006) Uma máquina enche um depósito de cereais na razão de seis toneladas por hora. Num determinado dia, essa máquina, com a tarefa de encher três depósitos de mesma capacidade, encheu o primeiro normalmente, mas apresentou um defeito e encheu os outros dois na razão de três toneladas por hora. Em média, nesse dia quantas toneladas por hora trabalhou essa máquina?
a) 3,2
b) 3,5
c) 3,6
d) 4,0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • A máquina enche depósitos de mesma capacidade.
  • Taxa normal da máquina: 6 toneladas por hora.
  • Num dia em que enchia três depósitos iguais, ela encheu:
    • o primeiro depósito à taxa normal 6 toneladas/hora,
    • os outros dois depósitos com defeito à taxa 3 toneladas/hora cada.
      A pergunta é: em média, nesse dia, quantas toneladas por hora trabalhou a máquina? Ou seja, qual foi a taxa média efetiva (toneladas/hora) ao longo de todo o trabalho de encher os três depósitos?

Passo 2

Vou definir variáveis para organizar a conta (isso facilita e é a forma padrão em provas):
  • Seja C a capacidade de cada depósito, em toneladas. Não precisamos saber o valor numérico de C porque os três depósitos têm a mesma capacidade e C vai se cancelar.
  • Denoto as taxas por r_1 para o primeiro depósito e r_2,r_3 para os outros dois: r_1 = 6,\qquad r_2 = r_3 = 3onde as unidades são toneladas por hora.
    Explicação didática: a taxa média que queremos é a razão entre o total de trabalho (massa total encheida) e o tempo total gasto. Em termos gerais, se total de massa encheida for M e tempo total for T, a taxa média R é
R=\frac{M}{T}.
Isso é análogo a velocidade média em um deslocamento: distância total dividida pelo tempo total.

Passo 3

Calcular o tempo que a máquina levou para encher cada depósito usando a relação básica entre massa, taxa e tempo:
  • Para um depósito de capacidade C encher à taxa r demora tempo t = \dfrac{C}{r}.
    Aplicando isso aos três depósitos:
t_1=\frac{C}{r_1}=\frac{C}{6}, \qquad t_2=\frac{C}{r_2}=\frac{C}{3}, \qquad t_3=\frac{C}{r_3}=\frac{C}{3}.
Explanação: estou dividindo a quantidade (toneladas) pela taxa (toneladas/hora) para obter horas.

Passo 4

Calcular o total de massa encheida e o tempo total gasto:
  • Massa total encheida (três depósitos):
M = C + C + C = 3C.
  • Tempo total:
T = t_1+t_2+t_3 = \frac{C}{6}+\frac{C}{3}+\frac{C}{3}.
Agora simplifico T. Como \dfrac{C}{3}=\dfrac{2C}{6}, temos
T=\frac{C}{6}+\frac{2C}{6}+\frac{2C}{6}=\frac{5C}{6}.
Observação didática: usar o mesmo denominador ajuda a somar frações facilmente.

Passo 5

Calcular a taxa média R usando R=M/T:
R=\frac{M}{T}=\frac{3C}{\tfrac{5C}{6}}.
Corto C (pois C>0) e divido:
R=3\cdot\frac{6}{5}=\frac{18}{5}.
Transformando em decimal com vírgula (notação brasileira):
R=\frac{18}{5}=3{,}6\\ \text{toneladas por hora}.
Explicação: o valor de C desaparece, então a resposta não depende da capacidade numérica dos depósitos — só importa que sejam iguais.

Passo 6

Interpretação final e ligação com as opções da questão:
  • A taxa média encontrada é \,3{,}6 toneladas/hora.
  • Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

3{,}6 t/h
(c)

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