A uniform volume charge has constant density
, and fills the region
, in which permittivity
as assumed. A conducting spherical shell is located at
, and is held at ground potential. Find:
a) the potential everywhere
b) the electric field intensity,
, everywhere
a) the potential everywhere
b) the electric field intensity,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação: há uma densidade volumétrica de carga uniforme
(em ) ocupando toda a região . - Informação: no interior (
) o meio tem permissividade . - Informação: existe uma casca condutora localizada em
, mantida ao potencial de terra (ou seja, ). - Pedidos:
- Determinar o potencial
em toda a região (ou seja, para e para ). - Determinar a intensidade do campo elétrico
em toda a região (para e para ).
- Determinar o potencial
Passo 2
Observação sobre simetria e método (sem ainda resolver): pela geometria esférica e densidade uniforme, a configuração tem simetria esférica — portanto o campo elétrico, se existir, será radial e dependerá apenas de
. Isso permite aplicar a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio
. Vou usar a forma integral da Lei de Gauss:
onde
é a carga total contida dentro da superfície e
é a permissividade do meio onde aplicamos a equação. Aqui
aponta radialmente para fora.
Passo 3
Calcular
para
usando Gauss. Escolho uma superfície esférica de raio
com
.
- A simetria implica
com constante sobre a esfera de raio . - A integral da esquerda vira
. - A carga encerrada pela esfera de raio
é a densidade vezes o volume esférico até :
- Substituindo na Lei de Gauss:
- Cancelo fatores e resolvo para
:
- Portanto, para
o campo vetorial é
Explicação do sinal/direção: se
, o campo aponta radialmente para fora; se
, aponta para dentro. Aqui escrevi a forma com o vetor unitário
que indica direção radial para fora.
Passo 4
Determinar
para
. Há uma casca condutora em
mantida em terra. Fisicamente, a carga volumétrica interna total é
Ao colocar a casca condutora em contato com a terra (ground), aparecem cargas induzidas na superfície interna da casca que somam
, e pela conexão com a terra qualquer carga extra flui para a terra de modo que a superfície externa da casca não fica com carga líquida. Assim, o campo fora da casca é nulo (a casca isolou eletricamente o exterior do interior quando está aterrada). Em termos práticos: para
o campo é
(Explicação alternativa curta: uma superfície condutora em terra é um escudo elétrico — nada do campo interno aparece fora.)
Passo 5
Agora encontro o potencial
. Vou usar a relação entre campo e potencial (união de definição):
Com simetria esférica, isso reduz a relação unidimensional
Usarei a condição de contorno
(consequência de a casca estar aterrada).
Para
: já temos
. Integrando:
Integro de
até
, usando
:
Como
,
Organizando:
Para
: a casca está em potencial zero e o campo fora é nulo, logo
para
. Note que
é contínua em
(ambos dão zero).
Passo 6
Checagens rápidas e observações físicas:
- Valor no centro:
. - Descontinuidade de
em : dentro, ; fora, . Essa descontinuidade corresponde à presença da densidade superficial de carga induzida na face interna do condutor. A densidade superficial induzida na superfície interna satisfaz , o que dá a carga total quando integrada pela área .
Passo 7
Resumo final (formas fechadas) e incentivo: você já tem as expressões prontas para usar na prova — é só lembrar da simetria esférica, da Lei de Gauss e de integrar
. Vai com calma, respira e confia que esse padrão aparece sempre que tiver cargas com simetria esférica.