A uniform volume charge has constant density 
a) the potential everywhere
b) the electric field intensity, 
a) the potential everywhere
b) the electric field intensity,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação: há uma densidade volumétrica de carga uniforme 
(em ) ocupando toda a região . 
- Informação: no interior (
) o meio tem permissividade . 
- Informação: existe uma casca condutora localizada em 
, mantida ao potencial de terra (ou seja, ). 
- Pedidos:
- Determinar o potencial 
em toda a região (ou seja, para e para ). 
- Determinar a intensidade do campo elétrico 
em toda a região (para e para ). 
 
- Determinar o potencial 
Passo 2
Observação sobre simetria e método (sem ainda resolver): pela geometria esférica e densidade uniforme, a configuração tem simetria esférica — portanto o campo elétrico, se existir, será radial e dependerá apenas de 
onde 
Passo 3
Calcular 
- A simetria implica 
com constante sobre a esfera de raio . 
- A integral da esquerda vira 
. 
- A carga encerrada pela esfera de raio 
é a densidade vezes o volume esférico até : 
- Substituindo na Lei de Gauss:
- Cancelo fatores e resolvo para 
: 
- Portanto, para 
o campo vetorial é 
Explicação do sinal/direção: se 
Passo 4
Determinar 
Ao colocar a casca condutora em contato com a terra (ground), aparecem cargas induzidas na superfície interna da casca que somam 
(Explicação alternativa curta: uma superfície condutora em terra é um escudo elétrico — nada do campo interno aparece fora.)
Passo 5
Agora encontro o potencial 
Com simetria esférica, isso reduz a relação unidimensional
Usarei a condição de contorno 
Para 
Integro de 
Como 
Organizando:
Para 
Passo 6
Checagens rápidas e observações físicas:
- Valor no centro: 
. 
- Descontinuidade de 
em : dentro, ; fora, . Essa descontinuidade corresponde à presença da densidade superficial de carga induzida na face interna do condutor. A densidade superficial induzida na superfície interna satisfaz , o que dá a carga total quando integrada pela área . 
Passo 7
Resumo final (formas fechadas) e incentivo: você já tem as expressões prontas para usar na prova — é só lembrar da simetria esférica, da Lei de Gauss e de integrar 
