In cylindrical coordinates, V=1000 \rho^{2}.
a) If the region 0.1<\rho<0.3 \mathrm{~m} is free space while the surfaces \rho=0.1 and \rho=0.3 \mathrm{~m} are conductors, specify the surface charge density on each conductor:
b) What is the total charge in a 1-\mathrm{m} length of the free space region, 0.1<\rho<0.3 (not including the conductors)?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial em coordenadas cilíndricas
V = 1000\,\rho^{2}
onde \rho é a coordenada radial (em metros). A região 0{,}1<\rho<0{,}3\\ \mathrm{m} é espaço livre (vácuo) e as superfícies \rho=0{,}1\\ \mathrm{m} e \rho=0{,}3\\ \mathrm{m} são condutoras. As perguntas são duas:
(a) especificar a densidade de carga superficial em cada condutor;
(b) calcular a carga total em um comprimento de 1\\ \mathrm{m} da região livre 0{,}1<\rho<0{,}3 (excluindo as superfícies condutoras).

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas fundamentais que usaremos (explicadinho):
  • O campo elétrico \mathbf{E} está relacionado ao potencial por
\mathbf{E} = -\nabla V.
Isto quer dizer: para achar \mathbf{E} a partir de V, derivamos V em relação às coordenadas e colocamos um sinal negativo. No nosso caso V depende só de \rho, então só aparece a componente radial.
  • A condição de salto do campo elétrico na superfície de um condutor dá a densidade superficial de carga \sigma por
\sigma = \varepsilon_{0}\, \mathbf{E}_{\text{out}}\cdot \mathbf{n},
onde \mathbf{E}_{\text{out}} é o campo no lado do espaço livre (fora do condutor) e \mathbf{n} é o versor normal apontando do condutor para o espaço livre. Dentro do condutor \mathbf{E}=0, por isso a diferença E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=E_{\text{out}} aparece.

Passo 3

Calcular \mathbf{E} a partir de V. Primeiro a derivada radial:
\frac{\partial V}{\partial \rho} = \frac{d}{d\rho}\bigl(1000\,\rho^{2}\bigr) = 2000\,\rho.
Como V depende só de \rho, o gradiente é \nabla V = \dfrac{\partial V}{\partial \rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}} = 2000\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. Portanto
\mathbf{E} = -\nabla V = -2000\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Isto significa que o campo é radial, apontando para -\hat{\boldsymbol{\rho}}, e seu valor escalar (com sinal) é E_{\rho}=-2000\,\rho (unidade \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}).

Passo 4

Avaliar \mathbf{E} nas superfícies condutoras:
  • Em \rho=0{,}1\\ \mathrm{m}:
\mathbf{E}\big|_{\rho=0{,}1} = -2000\cdot 0{,}1\,\hat{\boldsymbol{\rho}} = -200\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\\ \mathrm{(N/C)}.
  • Em \rho=0{,}3\\ \mathrm{m}:
\mathbf{E}\big|_{\rho=0{,}3} = -2000\cdot 0{,}3\,\hat{\boldsymbol{\rho}} = -600\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\\ \mathrm{(N/C)}.

Passo 5

Determinar a direção do versor normal \mathbf{n} para usar na fórmula \sigma=\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}_{\text{out}}\cdot\mathbf{n}:
  • Para o condutor interno \rho=0{,}1 o espaço livre está para \rho>0{,}1, então \mathbf{n}=\hat{\boldsymbol{\rho}} (normal apontando para fora do condutor, ou seja para maiores \rho).
  • Para o condutor externo \rho=0{,}3 o espaço livre está para \rho<0{,}3, então a normal apontando do condutor para o espaço livre é \mathbf{n}=-\hat{\boldsymbol{\rho}} (apontando para dentro, para menores \rho).

Passo 6

Calcular as densidades superficiais \sigma usando \sigma=\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}_{\text{out}}\cdot\mathbf{n}:
  • Para \rho=0{,}1:
\sigma(0{,}1) = \varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\big|_{\rho=0{,}1}\cdot\hat{\boldsymbol{\rho}} = \varepsilon_{0}\,(-200\,\hat{\boldsymbol{\rho}})\cdot\hat{\boldsymbol{\rho}} = -200\,\varepsilon_{0}.
  • Para \rho=0{,}3:
\sigma(0{,}3) = \varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\big|_{\rho=0{,}3}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\rho}}) = \varepsilon_{0}\,(-600\,\hat{\boldsymbol{\rho}})\cdot(-\hat{\boldsymbol{\rho}}) = +600\,\varepsilon_{0}.
Se quiser números usando \varepsilon_{0}=8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
\sigma(0{,}1)\approx -1{,}77\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}},\qquad \sigma(0{,}3)\approx 5{,}31\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 7

Agora a carga total na região livre (por unidade de comprimento de 1\\ \mathrm{m}). Usamos a equação de Poisson que relaciona o potencial à densidade volumétrica de carga \rho_{v}:
\nabla^{2}V = -\frac{\rho_{v}}{\varepsilon_{0}}.
Em coordenadas cilíndricas, para função radial só depende de \rho,
\nabla^{2}V = \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\biggl(\rho\frac{dV}{d\rho}\biggr).
Calculamos passo a passo: já temos \dfrac{dV}{d\rho}=2000\,\rho. Então
\rho\frac{dV}{d\rho}=2000\,\rho^{2},\qquad \frac{d}{d\rho}\bigl(2000\,\rho^{2}\bigr)=4000\,\rho,
portanto
\nabla^{2}V=\frac{1}{\rho}\,(4000\,\rho)=4000.
Assim
\rho_{v} = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V = -4000\,\varepsilon_{0}.
Ou seja, a densidade volumétrica de carga é constante (negativa) na região livre: \rho_{v}=-4000\varepsilon_{0} (unidade \mathrm{C/m^{3}}).

Passo 8

Integrar a densidade volumétrica para obter a carga total em um comprimento L=1\\ \mathrm{m}. O volume do cilindro anelar (por L=1) é
V_{\text{anel}} = \text{área do anel}\times L = \pi\bigl(0{,}3^{2}-0{,}1^{2}\bigr)\times 1 = \pi(0{,}09-0{,}01)=0{,}08\pi.á
Portanto a carga total é
Q = \rho_{v}\,V_{\text{anel}} = (-4000\,\varepsilon_{0})\cdot(0{,}08\pi) = -320\pi\,\varepsilon_{0}.
Numericamente, com \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12},
Q \approx -8{,}90\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Resposta

(a) \sigma(\rho=0{,}1\\ \mathrm{m}) = -200\,\varepsilon_{0} \approx -1{,}77\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}};\\ \sigma(\rho=0{,}3\\ \mathrm{m}) = 600\,\varepsilon_{0} \approx 5{,}31\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}\n
(b) Q = -320\pi\,\varepsilon_{0} \approx -8{,}90\times10^{-9}\\ \mathrm{C}

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