In cylindrical coordinates, V=1000 \rho^{2}.
a) If the region 0.1<\rho<0.3 \mathrm{~m} is free space while the surfaces \rho=0.1 and \rho=0.3 \mathrm{~m} are conductors, specify the surface charge density on each conductor:
b) What is the total charge in a 1-\mathrm{m} length of the free space region, 0.1<\rho<0.3 (not including the conductors)?
Passo 1
O enunciado dá a função potencial em coordenadas cilíndricas
V = 1000\,\rho^{2}
onde \rho é a coordenada radial (em metros). A região 0{,}1<\rho<0{,}3\\ \mathrm{m} é espaço livre (vácuo) e as superfícies \rho=0{,}1\\ \mathrm{m} e \rho=0{,}3\\ \mathrm{m} são condutoras. As perguntas são duas:
(a) especificar a densidade de carga superficial em cada condutor;
(b) calcular a carga total em um comprimento de 1\\ \mathrm{m} da região livre 0{,}1<\rho<0{,}3 (excluindo as superfícies condutoras).
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas fundamentais que usaremos (explicadinho):
O campo elétrico \mathbf{E} está relacionado ao potencial por
\mathbf{E} = -\nabla V.
Isto quer dizer: para achar \mathbf{E} a partir de V, derivamos V em relação às coordenadas e colocamos um sinal negativo. No nosso caso V depende só de \rho, então só aparece a componente radial.
A condição de salto do campo elétrico na superfície de um condutor dá a densidade superficial de carga \sigma por
onde \mathbf{E}_{\text{out}} é o campo no lado do espaço livre (fora do condutor) e \mathbf{n} é o versor normal apontando do condutor para o espaço livre. Dentro do condutor \mathbf{E}=0, por isso a diferença E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=E_{\text{out}} aparece.
Passo 3
Calcular \mathbf{E} a partir de V. Primeiro a derivada radial:
Como V depende só de \rho, o gradiente é \nabla V = \dfrac{\partial V}{\partial \rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}} = 2000\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. Portanto
\mathbf{E} = -\nabla V = -2000\,\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Isto significa que o campo é radial, apontando para -\hat{\boldsymbol{\rho}}, e seu valor escalar (com sinal) é E_{\rho}=-2000\,\rho (unidade \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}).
Determinar a direção do versor normal \mathbf{n} para usar na fórmula \sigma=\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}_{\text{out}}\cdot\mathbf{n}:
Para o condutor interno \rho=0{,}1 o espaço livre está para \rho>0{,}1, então \mathbf{n}=\hat{\boldsymbol{\rho}} (normal apontando para fora do condutor, ou seja para maiores \rho).
Para o condutor externo \rho=0{,}3 o espaço livre está para \rho<0{,}3, então a normal apontando do condutor para o espaço livre é \mathbf{n}=-\hat{\boldsymbol{\rho}} (apontando para dentro, para menores \rho).
Passo 6
Calcular as densidades superficiais \sigma usando \sigma=\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}_{\text{out}}\cdot\mathbf{n}:
Agora a carga total na região livre (por unidade de comprimento de 1\\ \mathrm{m}). Usamos a equação de Poisson que relaciona o potencial à densidade volumétrica de carga \rho_{v}:
\nabla^{2}V = -\frac{\rho_{v}}{\varepsilon_{0}}.
Em coordenadas cilíndricas, para função radial só depende de \rho,