O cobalto-60 é um isótopo usado na medicina para o tratamento de certos tipos de câncer. Ele produz partículas \beta e raios \gamma, sendo que este último tem energias de 1,173 e 1,132 \mathrm{MeV}. ( 1 \mathrm{MeV}=1 millão de eV e 1 eV é a aproximadamente 9,6485 \times 10^{4} \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.
a) Quais são as frequências e o comprimento de onda de um fóton de raio \gamma com uma energia de 1,132 \mathrm{MeV} ?
b) A massa, em miligrama, correspondente a frequência em questão.
Dados:
  • Velocidade da luz no vácuo =3 \times 10^{8} \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1}
  • Constante de Planck =6,63 \times 10^{-34} \mathrm{Kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}
  • 1,0 Joule =1 \mathrm{Kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}^{2}
  • 1,0 \mathrm{~mol} de partículas =6,02 \times 10^{23} patículas

Passo 1

O enunciado fornece a energia de um fóton de raios \gamma de 1,132\\ \mathrm{MeV} e pede:
– (a) frequência (f) e comprimento de onda (\lambda) desse fóton;
– (b) massa equivalente a essa energia.
Para resolver vamos usar:
  1. Conversão de \mathrm{MeV} para joule, via 1\,\mathrm{eV}=\frac{9,6485\times10^{4}\,\mathrm{J/mol}}{6,02\times10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}}.
  2. Relação da energia de um fóton E=h\,f com h=6,63\times10^{-34}\,\mathrm{kg\,m^{2}/s}.
  3. Relação c=\lambda\,f com c=3,0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
  4. Equivalência massa-energia E=m\,c^{2}.

Passo 2

Converter 1,132\\ \mathrm{MeV} para joules por fóton.
Primeiro
1,132\\ \mathrm{MeV}=1,132\times10^{6}\\ \mathrm{eV}.
Em seguida, como
1\,\mathrm{eV} =\frac{9,6485\times10^{4}\,\mathrm{J/mol}}{6,02\times10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}} =1,6032\times10^{-19}\,\mathrm{J},
temos
E =1,132\times10^{6}\,\mathrm{eV}\times1,6032\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV} =1,8168\times10^{-13}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a frequência usando E=h\,f.
f = \frac{E}{h} = \frac{1,8168\times10^{-13}\,\mathrm{J}}{6,63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}} =2,74\times10^{20}\,\mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda via c=\lambda\,f.
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3,0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}}{2,74\times10^{20}\,\mathrm{s^{-1}}} =1,10\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a massa equivalente pela relação E=m\,c^{2}.
m = \frac{E}{c^{2}} = \frac{1,8168\times10^{-13}\,\mathrm{J}}{(3,0\times10^{8}\,\mathrm{m/s})^{2}} =2,02\times10^{-30}\,\mathrm{kg}.
Convertendo para miligramas 1\,\mathrm{mg}=10^{-6}\,\mathrm{kg}:
m = 2,02\times10^{-30}\,\mathrm{kg}\times10^{6}\,\mathrm{mg/kg} =2,02\times10^{-24}\,\mathrm{mg}.

Resposta

(a) f=2,74\times10^{20}\,\mathrm{s^{-1}}, \lambda=1,10\times10^{-12}\,\mathrm{m}.
(b) m=2,02\times10^{-24}\,\mathrm{mg}.

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