Dada a função
e o ponto
[a] Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
[b]Encontre a linearização
da função naquele ponto
[c] Calcule o erro estimado para a linearização no ponto ( 0,
).
[a] Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
[b]Encontre a linearização
[c] Calcule o erro estimado para a linearização no ponto ( 0,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Ponto dado:
. - Perguntas:
(a) Justificar por queé diferenciável em .
(b) Encontrar a linearizaçãode em .
(c) Calcular o erro da aproximação linear no ponto.
Informações úteis implícitas:
- A raiz quadrada exige
. O ponto tem , logo existe uma vizinhança de onde e suas combinações são bem comportadas (contínuas, diferenciáveis).
Passo 2
O que significa ser diferenciável aqui (intuição e condição prática):
- Intuição:
é diferenciável em se puder ser bem aproximada por um plano tangente (uma aproximação linear) perto de . Formalmente, existe um linear tal que o erro relativo tende a zero quando . - Condição prática muito usada: se as derivadas parciais
e existem em uma vizinhança de e são contínuas nesse ponto, então é diferenciável em . Isso evita fazer a verificação direta do limite do erro.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(passo-a-passo do cálculo):
- Definição da função:
. - Derivada parcial em relação a
: trate como constante. Explicação: derivada de é , sobra multiplicar por . - Derivada parcial em relação a
: trate como constante e use a regra da potência. Explicação: derivada de é , e o fator sai na frente.
Avaliação no ponto
:
Passo 4
Verificação da continuidade das derivadas parciais (para concluir diferenciabilidade):
- As expressões
e são funções compostas de funções contínuas em qualquer região onde . - Como
, existe uma vizinhança de com onde ambas as derivadas parciais existem e são contínuas. - Pelo teorema citado no Passo 2, concluímos que
é diferenciável em .
Passo 5
Fórmula da linearização e construção do plano tangente (aula prática):
- Fórmula geral da linearização de
em : Explicação: é o valor da função no ponto mais o acréscimo linear dado pelas derivadas parciais vezes os deslocamentos e . - Aqui
, . Primeiro calcule : - Substituindo os valores das derivadas parciais do Passo 3:
Passo 6
Simplificar a expressão da linearização (forma alternativa útil em cálculo rápido):
- Expandindo:
Verificação rápida: em isso dá , como esperado.
Passo 7
O que é o “erro” pedido e como vamos calculá‑lo:
- O “erro da linearização” no ponto
normalmente significa a diferença real entre o valor verdadeiro e o valor aproximado : - Vamos calcular
em de duas maneiras: - calcular numericamente
e com boa precisão e subtrair; - mostrar a estimativa pelo termo quadrático de Taylor (remainder de segunda ordem) para entender a ordem de grandeza do erro.
- calcular numericamente
Passo 8
Cálculo numérico direto de
e
:
- Deslocamentos:
- Avaliar
: - Avaliar
: Para faça a reescrita . Use a aproximação por desenvolvimento em série (binomial) para com : Substituindo : Então Finalmente - Agora a diferença (erro real):
Em notação científica:
Passo 9
Estimativa pelo termo quadrático de Taylor (interpretação e verificação do sinal/ordem):
- A expansão de segunda ordem em torno de
tem termo quadrático aproximado onde é a Hessiana avaliada em . - Calcule as segundas derivadas:
Avaliando em : - Quadrática:
Calculando:
Metade disso (o
) é
- Comparação: este valor coincide muito bem com o erro obtido numericamente no Passo 8 (diferença na última casa vem da aproximação numérica de
). Conclusão: o erro é da ordem de e negativo (a linearização superestima ligeiramente o valor de naquele ponto).
Resposta
(a) A função é diferenciável em
porque as derivadas parciais
e
existem e são contínuas numa vizinhança de
(onde
).
(b)
(c) (erro absoluto
).
(b)
(c)