Dada a função f(x, y)=x \sqrt{y} e o ponto (1,4)
[a] Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
[b]Encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto
[c] Calcule o erro estimado para a linearização no ponto ( 0, 97 ; 4,01 ).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x,y)=x\sqrt{y}.
  • Ponto dado: (1,4).
  • Perguntas:
    (a) Justificar por que f é diferenciável em (1,4).
    (b) Encontrar a linearização L(x,y) de f em (1,4).
    (c) Calcular o erro da aproximação linear no ponto (0,97;4,01).
Informações úteis implícitas:
  • A raiz quadrada exige y\ge 0. O ponto (1,4) tem y=4>0, logo existe uma vizinhança de (1,4) onde \sqrt{y} e suas combinações são bem comportadas (contínuas, diferenciáveis).

Passo 2

O que significa ser diferenciável aqui (intuição e condição prática):
  • Intuição: f é diferenciável em (a,b) se puder ser bem aproximada por um plano tangente (uma aproximação linear) perto de (a,b). Formalmente, existe um linear L tal que o erro relativo tende a zero quando (x,y)\to(a,b).
  • Condição prática muito usada: se as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem em uma vizinhança de (a,b) e são contínuas nesse ponto, então f é diferenciável em (a,b). Isso evita fazer a verificação direta do limite do erro.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (passo-a-passo do cálculo):
  • Definição da função: f(x,y)=x\sqrt{y}=x\,y^{1/2}.
  • Derivada parcial em relação a x: trate y como constante. \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{y}=y^{1/2}.Explicação: derivada de x é 1, sobra multiplicar por \sqrt{y}.
  • Derivada parcial em relação a y: trate x como constante e use a regra da potência. \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{x}{2\sqrt{y}}.Explicação: derivada de y^{1/2} é \tfrac{1}{2}y^{-1/2}, e o fator x sai na frente.
Avaliação no ponto (1,4):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,4)=\sqrt{4}=2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Verificação da continuidade das derivadas parciais (para concluir diferenciabilidade):
  • As expressões \sqrt{y} e \dfrac{x}{2\sqrt{y}} são funções compostas de funções contínuas em qualquer região onde y>0.
  • Como 4>0, existe uma vizinhança de (1,4) com y>0 onde ambas as derivadas parciais existem e são contínuas.
  • Pelo teorema citado no Passo 2, concluímos que f é diferenciável em (1,4).

Passo 5

Fórmula da linearização e construção do plano tangente (aula prática):
  • Fórmula geral da linearização de f em (a,b): L(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).Explicação: é o valor da função no ponto mais o acréscimo linear dado pelas derivadas parciais vezes os deslocamentos x-a e y-b.
  • Aqui a=1, b=4. Primeiro calcule f(1,4): f(1,4)=1\cdot\sqrt{4}=2.
  • Substituindo os valores das derivadas parciais do Passo 3: L(x,y)=2+2\,(x-1)+\frac{1}{4}\,(y-4).

Passo 6

Simplificar a expressão da linearização (forma alternativa útil em cálculo rápido):
  • Expandindo: L(x,y)=2+2x-2+\frac{1}{4}y-1 = 2x+\frac{1}{4}y-1.Verificação rápida: em (1,4) isso dá 2\cdot1+\tfrac{1}{4}\cdot4-1=2, como esperado.

Passo 7

O que é o “erro” pedido e como vamos calculá‑lo:
  • O “erro da linearização” no ponto (x,y) normalmente significa a diferença real entre o valor verdadeiro f(x,y) e o valor aproximado L(x,y): E(x,y)=f(x,y)-L(x,y).
  • Vamos calcular E em (0,97;4,01) de duas maneiras:
    1. calcular numericamente f e L com boa precisão e subtrair;
    2. mostrar a estimativa pelo termo quadrático de Taylor (remainder de segunda ordem) para entender a ordem de grandeza do erro.

Passo 8

Cálculo numérico direto de L(0,97,4,01) e f(0,97,4,01):
  • Deslocamentos: \Delta x=0,97-1=-0,03,\qquad \Delta y=4,01-4=0,01.
  • Avaliar L: L(0,97,4,01)=2+2(-0,03)+\tfrac{1}{4}(0,01)=2-0,06+0,0025=1,9425.
  • Avaliar f: f(0,97,4,01)=0,97\sqrt{4,01}.Para \sqrt{4,01} faça a reescrita \sqrt{4,01}=2\sqrt{1,0025}. Use a aproximação por desenvolvimento em série (binomial) para \sqrt{1+u} com u=0,0025: \sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\cdots.Substituindo u=0,0025: \sqrt{1,0025}\approx 1+0,00125-\frac{(0,0025)^2}{8}=1+0,00125-0,00000078125\approx 1,00124921875.Então \sqrt{4,01}\approx 2\cdot1,00124921875=2,0024984375.Finalmente f(0,97,4,01)\approx 0,97\cdot 2,0024984375=1,942423484375.
  • Agora a diferença (erro real): E(0,97,4,01)=f(0,97,4,01)-L(0,97,4,01)\approx 1,942423484375-1,9425\approx -0,000076515625.Em notação científica: E(0,97,4,01)\approx -7,6515625\times10^{-5}.

Passo 9

Estimativa pelo termo quadrático de Taylor (interpretação e verificação do sinal/ordem):
  • A expansão de segunda ordem em torno de (1,4) tem termo quadrático aproximado R_2\approx \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}\Delta x & \Delta y\end{pmatrix} H \begin{pmatrix}\Delta x \\\ \Delta y\end{pmatrix},onde H é a Hessiana avaliada em (1,4).
  • Calcule as segundas derivadas: f_{xx}=0,\qquad f_{xy}=\frac{1}{2\sqrt{y}},\qquad f_{yy}=-\frac{x}{4y^{3/2}}.Avaliando em (1,4): f_{xx}(1,4)=0,\qquad f_{xy}(1,4)=\frac{1}{4},\qquad f_{yy}(1,4)=-\frac{1}{32}.
  • Quadrática: Q= f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2 =0 + 2\cdot\frac{1}{4}(-0,03)(0,01)+\left(-\frac{1}{32}\right)(0,01)^2.Calculando: 2\cdot\frac{1}{4}(-0,03)(0,01)=-0,00015,\qquad -\frac{1}{32}(0,01)^2=-0,000003125,
Q=-0,000153125.
Metade disso (o R_2) é
R_2\approx -0,0000765625 = -7,65625\times10^{-5}.
  • Comparação: este valor coincide muito bem com o erro obtido numericamente no Passo 8 (diferença na última casa vem da aproximação numérica de \sqrt{4,01}). Conclusão: o erro é da ordem de 10^{-4} e negativo (a linearização superestima ligeiramente o valor de f naquele ponto).

Resposta

(a) A função é diferenciável em (1,4) porque as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}=\sqrt{y} e \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x}{2\sqrt{y}} existem e são contínuas numa vizinhança de (1,4) (onde y>0).
(b) L(x,y)=2+2(x-1)+\dfrac{1}{4}(y-4)=2x+\dfrac{1}{4}y-1.
(c) E=f(0,97,4,01)-L(0,97,4,01)\approx-7,65\times10^{-5} (erro absoluto \approx7,65\times10^{-5}).

Exercícios relacionados