O cobre e o alumínio estão sendo considerados para uma linha de transmissão de alta voltagem que deve carregar uma corrente de 60 A . A resistência por unidade de comprimento é de 0,15 \Omega / \mathrm{km}. Calcule para cada opção do material do cabo: (a) a densidade de corrente e (b) a massa por metro de cabo. As densidades do cobre e do alumínio são 8960 e 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente I=60\\ \mathrm{A} e uma resistência por comprimento
\frac{R}{L}=0{,}15\\ \Omega/\mathrm{km}=0{,}00015\\ \Omega/\mathrm{m}.
Queremos para cobre e alumínio:
  1. a densidade de corrente \displaystyle J=\frac{I}{A},
  2. a massa por metro de cabo \displaystyle m'=\rho_{\rm mat}\,A.
    Para achar a área A usamos a relação
\frac{R}{L}=\frac{\rho_{\rm el}}{A}
onde \rho_{\rm el} é a resistividade (tabela): \rho_{\rm Cu}=1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, \rho_{\rm Al}=2{,}65\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a área de seção transversal A para cada material:
A_{\rm Cu}=\frac{\rho_{\rm Cu}}{R/L} =\frac{1{,}68\times10^{-8}}{0{,}00015} =1{,}12\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
A_{\rm Al}=\frac{\rho_{\rm Al}}{R/L} =\frac{2{,}65\times10^{-8}}{0{,}00015} =1{,}77\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular a densidade de corrente J=I/A:
J_{\rm Cu}=\frac{60}{1{,}12\times10^{-4}} \approx5{,}36\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}},
J_{\rm Al}=\frac{60}{1{,}77\times10^{-4}} \approx3{,}39\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 4

Calcular a massa por metro m'=\rho_{\rm mat}\,A:
m'_{\rm Cu}=8960\cdot1{,}12\times10^{-4} \approx1{,}00\\ \mathrm{kg/m},
m'_{\rm Al}=2700\cdot1{,}77\times10^{-4} \approx0{,}48\\ \mathrm{kg/m}.

Resposta

Para o cobre:
(a) J_{\rm Cu}\approx5{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}
(b) m'_{\rm Cu}\approx1{,}00\\ \mathrm{kg/m}
Para o alumínio:
(a) J_{\rm Al}\approx3{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}
(b) m'_{\rm Al}\approx0{,}48\\ \mathrm{kg/m}

Exercícios relacionados