Exercício 1: Mostre que o produto triplo \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) pode ser escrito como
\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=\left|\begin{array}{lll} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\\ C_{x} & C_{y} & C_{z} \end{array}\right| .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar de \vec{A} com o produto vetorial de \vec{B} e \vec{C} coincide com o determinante formado pelas componentes de \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}. Vamos usar as definições de produto vetorial componente a componente e de produto escalar em coordenadas cartesianas, e depois comparar com a expansão por cofactores do determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Primeiro, calculemos \vec{D} = \vec{B}\times \vec{C}. Pelas regras do produto vetorial, suas componentes são
D_x = B_y\,C_z - B_z\,C_y,
D_y = B_z\,C_x - B_x\,C_z,
D_z = B_x\,C_y - B_y\,C_x.

Passo 3

Em seguida, computamos o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{D}:
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = A_x\,D_x + A_y\,D_y + A_z\,D_z.
Substituindo as componentes de \vec{D}, obtemos
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = A_x\,(B_y\,C_z - B_z\,C_y) + A_y\,(B_z\,C_x - B_x\,C_z) + A_z\,(B_x\,C_y - B_y\,C_x).

Passo 4

Agora comparemos com a expansão por cofactores do determinante
\left|\begin{matrix} A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \\\ C_x & C_y & C_z \end{matrix}\right| = A_x\,(B_y\,C_z - B_z\,C_y) - A_y\,(B_x\,C_z - B_z\,C_x) + A_z\,(B_x\,C_y - B_y\,C_x).
Note que
B_z\,C_x - B_x\,C_z = -\bigl(B_x\,C_z - B_z\,C_x\bigr),
logo
A_y\,(B_z\,C_x - B_x\,C_z) = -\,A_y\,(B_x\,C_z - B_z\,C_x),
o que faz o termo em A_y coincidir com o cofactor de A_y no determinante. Os demais termos batem diretamente. Portanto
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \left|\begin{matrix} A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \\\ C_x & C_y & C_z \end{matrix}\right|.

Resposta

\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) =\left|\begin{matrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\\ C_{x} & C_{y} & C_{z} \end{matrix}\right|.

Exercícios relacionados