Exercício 3: Dados dois vetores
\begin{aligned} & \vec{r}=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z} \\\ & \vec{r}^{\prime}=x^{\prime} \hat{x}+y^{\prime} \hat{y}+z^{\prime} \hat{z}, \end{aligned}
escreva, em termos das componentes, o vetor unitário
\hat{R}
sendo
\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede o vetor unitário na direção de \displaystyle \vec{R} = \vec{r} - \vec{r}^{\prime},
onde \vec{r}=x\,\hat{x}+y\,\hat{y}+z\,\hat{z} e \vec{r}^{\prime}=x^{\prime}\,\hat{x}+y^{\prime}\,\hat{y}+z^{\prime}\,\hat{z}.
O conteúdo envolve subtrair componentes de vetores e depois normalizar (dividir pelo módulo) para obter um vetor de comprimento unitário.

Passo 2

Calcular as componentes de \vec{R} subtraindo componente a componente:
\vec{R} = (x - x^{\prime})\,\hat{x} \;+\;(y - y^{\prime})\,\hat{y}\;+\;(z - z^{\prime})\,\hat{z}.

Passo 3

Determinar o módulo de \vec{R} usando a definição de norma em \mathbb{R}^3:
\bigl\lVert \vec{R}\bigr\rVert = \sqrt{(x - x^{\prime})^{2} + (y - y^{\prime})^{2} + (z - z^{\prime})^{2}}.

Passo 4

O vetor unitário na direção de \vec{R} é dado por
\hat{R} = \frac{\vec{R}}{\lVert \vec{R}\rVert},
isto é, cada componente de \vec{R} dividida pelo seu módulo.

Resposta

\boxed{ \hat{R} = \frac{x - x^{\prime}}{\sqrt{(x - x^{\prime})^{2} + (y - y^{\prime})^{2} + (z - z^{\prime})^{2}}}\,\hat{x} \;+\; \frac{y - y^{\prime}}{\sqrt{(x - x^{\prime})^{2} + (y - y^{\prime})^{2} + (z - z^{\prime})^{2}}}\,\hat{y} \;+\; \frac{z - z^{\prime}}{\sqrt{(x - x^{\prime})^{2} + (y - y^{\prime})^{2} + (z - z^{\prime})^{2}}}\,\hat{z} }

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