O cobre assume uma cubica de fase centrada (cfc) o valor aceito para o raio metálico do cobre é 1,28 \AA. Usando a tabela 7.1 do anexo calcular a densidade do cobre, comparar com o valor experimental.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a densidade do cobre sabendo que ele tem estrutura cúbica de face centrada (cfc) e que o raio metálico aceito é 1,28\\ \text{\AA}. Depois devo comparar o resultado com o valor experimental. Informações relevantes dadas:
  • Raio metálico: r = 1,28\\ \text{\AA}.
  • Estrutura cristalina: cfc (face-centered cubic).
Observação importante: a Tabela 7.1 do anexo não foi enviada aqui. Como essa tabela normalmente contém dados padrão (massa atômica e número de Avogadro), vou usar os valores padrão aceitos para esses parâmetros:
  • Massa molar do cobre: M = 63,546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Número de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Entender a relação geométrica na cfc e quantas átomos há por cela unitária.
Na estrutura cfc:
  • Cada cela unitária tem Z = 4 átomos efetivos (1/8 de átomo em cada um dos 8 vértices → 1 átomo; 1/2 de átomo em cada uma das 6 faces → 3 átomos; total 1+3=4).
  • A relação entre o parâmetro de rede a (aresta da cela cúbica) e o raio atômico r na cfc vem da diagonal da face: a diagonal da face mede a\sqrt{2} e equivale a 4r (quatro raios colocados ao longo da diagonal da face). Portanto:
a\sqrt{2} = 4r.
Isolando a:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.

Passo 3

Converter unidades do raio e calcular a.
Converter r de \text{\AA} para \mathrm{cm}. Lembre que 1\\ \text{\AA} = 10^{-8}\\ \mathrm{cm}. Assim:
r = 1,28\\ \text{\AA} = 1,28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Calcular a:
a = 2\sqrt{2}\,r = 2\sqrt{2}\times 1,28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Efetuando a conta (mostrando passos numéricos):
2\sqrt{2}\approx 2\times1,41421356 = 2,82842712,
a \approx 2,82842712\times 1,28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} \approx 3,62039\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular o volume da cela unitária V_{\text{cel}}.
O volume de uma cela cúbica é V_{\text{cel}} = a^{3}. Usando o valor de a obtido:
V_{\text{cel}} = (3,62039\times10^{-8}\\ \mathrm{cm})^{3}.
Calculando o cubo:
V_{\text{cel}} \approx 4,74533\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
(Detalhe do cálculo: 3{,}62039^{3}\approx47{,}4533 e multiplicando por 10^{-24} 4{,}74533\times10^{-23}.)

Passo 5

Calcular a massa contida em uma cela unitária.
A massa de um átomo de cobre é M/N_A. Como há Z=4 átomos por cela:
m_{\text{cel}} = Z\cdot\frac{M}{N_A} = 4\cdot\frac{63,546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}{6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.
Calculemos numericamente:
m_{\text{cel}} \approx \frac{254,184\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}{6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 4,2208\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular a densidade do cobre a partir da massa e do volume da cela.
Densidade é massa por volume:
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}}.
Substituindo os valores numéricos:
\rho \approx \frac{4,2208\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{4,74533\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 8,896\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.
Arredondando de forma prática para dois algarismos significativos após a vírgula (compatível com os dados usados):
\rho \approx 8,90\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.

Passo 7

Comparação com o valor experimental e interpretação.
Valor experimental (aceito) da densidade do cobre: \rho_{\text{exp}} = 8,96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.
Calcule a diferença percentual (erro relativo):
\text{erro percentual} = \frac{\rho - \rho_{\text{exp}}}{\rho_{\text{exp}}}\times100\% \approx \frac{8{,}896-8{,}96}{8{,}96}\times100\% \approx -0{,}7\%.
Comentário didático curto: a concordância é muito boa (diferença menor que 1%). Pequenas discrepâncias vêm de arredondamentos no raio e na massa atômica, da temperatura (a densidade varia com temperatura) e de que o raio metálico “aceito” pode variar conforme a fonte. Em prova, siga este procedimento: (1) identificar Z para a estrutura, (2) relacionar a com r, (3) calcular V_{\text{cel}}=a^3, (4) obter m_{\text{cel}}=Z M/N_A e (5) \rho=m_{\text{cel}}/V_{\text{cel}}.

Resposta

\rho_{\text{calc}} = 8{,}90\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}
\rho_{\text{exp}} = 8{,}96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} (diferença percentual \approx -0{,}7\%)

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