Dada a densidade do níquel de
e assumindo que o níquel cristaliza em uma estrutura cúbica compacta, calcule um valor para o número de Avogadro. (Dados: a massa atômica e o raio metálico do níquel são
e
, respectivamente.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular um valor para o número de Avogadro usando dados do níquel. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
A hipótese do enunciado: o níquel cristaliza em estrutura cúbica compacta (ou seja, cúbica compacta = cúbica de faces fechadas, FCC). A pergunta implícita é: a partir desses dados, qual é o valor de
(número de Avogadro)?
Passo 2
Estratégia geral (apenas para ficar claro o caminho que vamos seguir): vou relacionar a densidade macroscópica
com a massa e o volume de uma célula unitária cristalina. A ideia é:
- Determinar quantos átomos há numa célula unitária FCC (isso dá a massa por célula em termos de
e ). - Determinar a aresta da célula
a partir do raio atômico (geometria FCC). - Calcular o volume da célula
. - Usar
e isolar .
Vou explicar cada conceito enquanto aplico.
Passo 3
Quantos átomos por célula unitária em FCC?
- Na rede FCC (cúbica de faces), há:
- 8 átomos nos vértices; cada vértice pertence a 8 células, então contribuição total das 8 esquinas =
átomo por célula. - 6 átomos nas faces; cada átomo de face pertence a 2 células, então contribuição das faces =
átomos por célula.
- 8 átomos nos vértices; cada vértice pertence a 8 células, então contribuição total das 8 esquinas =
- Somando:
átomos por célula.
Portanto vou usar(número de átomos por célula unitária).
Passo 4
Relação entre a aresta da célula
e o raio atômico
em FCC.
- Em FCC, os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento
. - Ao longo dessa diagonal há 3 “meios-raios” concatenados: um raio do átomo na face, dois raios dos átomos que tocam (no meio) — na prática, a diagonal da face atravessa dois diâmetros atomicos parciais que somam
. Portanto:
- Isolando
:
Expliquei por que usamos
: porque ao olhar a diagonal da face vemos quatro raios alinhados (dois raios dos átomos que se tocam no centro da face e mais dois meios-raios dos átomos dos cantos), resultado clássico em cristalografia FCC.
Passo 5
Converter unidades do raio para centímetros e calcular
.
- Dado
. Lembre que . Assim:
- Agora calcule
:
Vou calcular passo a passo:
, então
.
Como ,
Como
Passo 6
Calcular o volume da célula unitária
.
- Temos
- Então
Uma forma mais exata (usando a expressão simbólica) é notar que
e
Calculemos numericamente (vou dar com precisão suficiente):
(Detalhe rápido:
,
, produto
e multiplicando por
dá
.)
Passo 7
Expressar a densidade em termos de
.
- Massa por célula unitária (em gramas) = número de átomos por célula vezes massa por átomo.
- Massa por átomo =
(onde é massa molar em e é o que queremos). - Logo massa por célula =
. - Densidade:
- Isolando
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: número de Avogadro (mol^{-1}) — incógnita. -
: número de átomos por célula (aqui ). -
: massa molar ( ), aqui . -
: densidade ( ), aqui . -
: volume da célula ( ) calculado no passo anterior.
Passo 8
Substituir valores e calcular numericamente.
- Valores conhecidos:
- Aplicando a fórmula
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Agora a divisão:
(Fiz a divisão mantendo casas significativas razoáveis; checando:
e isso vezes
dá
.)
Passo 9
Interpretação e verificação rápida.
- O valor obtido
está bem próximo do valor aceito experimentalmente ( ou ), considerando as aproximações (raio metálico pode variar conforme critério, pequenas imprecisões experimentais nos dados, arredondamentos). - Isso mostra que o método está correto: densidade + estrutura cristalina + raio atômico permitem estimar
.