Dada a densidade do níquel de 8,90 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e assumindo que o níquel cristaliza em uma estrutura cúbica compacta, calcule um valor para o número de Avogadro. (Dados: a massa atômica e o raio metálico do níquel são 58,70 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e 1,25 \AA, respectivamente.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular um valor para o número de Avogadro usando dados do níquel. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
\rho = 8,90\\ \mathrm{g/cm^{3}}
M = 58,70\\ \mathrm{g/mol}
r = 1,25\\ \text{\AA}
A hipótese do enunciado: o níquel cristaliza em estrutura cúbica compacta (ou seja, cúbica compacta = cúbica de faces fechadas, FCC). A pergunta implícita é: a partir desses dados, qual é o valor de N_A (número de Avogadro)?

Passo 2

Estratégia geral (apenas para ficar claro o caminho que vamos seguir): vou relacionar a densidade macroscópica \rho com a massa e o volume de uma célula unitária cristalina. A ideia é:
  • Determinar quantos átomos há numa célula unitária FCC (isso dá a massa por célula em termos de M e N_A).
  • Determinar a aresta da célula a a partir do raio atômico r (geometria FCC).
  • Calcular o volume da célula a^3.
  • Usar \rho = \dfrac{\text{massa por célula}}{\text{volume da célula}}éé e isolar N_A.
    Vou explicar cada conceito enquanto aplico.

Passo 3

Quantos átomos por célula unitária em FCC?
  • Na rede FCC (cúbica de faces), há:
    • 8 átomos nos vértices; cada vértice pertence a 8 células, então contribuição total das 8 esquinas = 8 \times \tfrac{1}{8} = 1 átomo por célula.
    • 6 átomos nas faces; cada átomo de face pertence a 2 células, então contribuição das faces = 6 \times \tfrac{1}{2} = 3 átomos por célula.
  • Somando: 1 + 3 = 4 átomos por célula.
    Portanto vou usar n = 4 (número de átomos por célula unitária).

Passo 4

Relação entre a aresta da célula a e o raio atômico r em FCC.
  • Em FCC, os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2}.
  • Ao longo dessa diagonal há 3 “meios-raios” concatenados: um raio do átomo na face, dois raios dos átomos que tocam (no meio) — na prática, a diagonal da face atravessa dois diâmetros atomicos parciais que somam 4r. Portanto:
\text{diagonal da face} = a\sqrt{2} = 4r.
  • Isolando a:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
Expliquei por que usamos 4r: porque ao olhar a diagonal da face vemos quatro raios alinhados (dois raios dos átomos que se tocam no centro da face e mais dois meios-raios dos átomos dos cantos), resultado clássico em cristalografia FCC.

Passo 5

Converter unidades do raio para centímetros e calcular a.
  • Dado r = 1,25\\ \text{\AA}. Lembre que 1\\ \text{\AA} = 1\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}. Assim:
r = 1,25 \times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Agora calcule a = 2\sqrt{2}\,r:
a = 2\sqrt{2}\times \left(1,25\times 10^{-8}\right)\\ \mathrm{cm}.
Vou calcular passo a passo: 2\times 1,25 = 2,50, então a = 2,50\sqrt{2}\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Como \sqrt{2}\approx 1,41421356,
a \approx 2,50\times 1,41421356 \times 10^{-8}\\ \mathrm{cm} \approx 3,5355339\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular o volume da célula unitária a^{3}.
  • Temos
a \approx 3,5355339\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Então
a^{3} \approx \left(3,5355339\times 10^{-8}\right)^{3}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Uma forma mais exata (usando a expressão simbólica) é notar que a = 2{,}5\sqrt{2}\times 10^{-8} e
a^{3} = (2{,}5)^{3}(\sqrt{2})^{3}\times 10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Calculemos numericamente (vou dar com precisão suficiente):
a^{3} \approx 4,4194\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
(Detalhe rápido: 2{,}5^{3}=15{,}625, (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828427, produto \approx 44{,}194 e multiplicando por 10^{-24} 4{,}4194\times 10^{-23}.)

Passo 7

Expressar a densidade em termos de N_A.
  • Massa por célula unitária (em gramas) = número de átomos por célula vezes massa por átomo.
  • Massa por átomo = \dfrac{M}{N_A} (onde M é massa molar em \mathrm{g/mol} e N_A é o que queremos).
  • Logo massa por célula = n\cdot \dfrac{M}{N_A}.
  • Densidade:
\rho = \frac{\text{massa por célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{n\cdot \dfrac{M}{N_A}}{a^{3}} = \frac{nM}{N_A a^{3}}.éé
  • Isolando N_A:
N_A = \frac{nM}{\rho\,a^{3}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • N_A: número de Avogadro (mol^{-1}) — incógnita.
  • n: número de átomos por célula (aqui 4).
  • M: massa molar ( \mathrm{g/mol}), aqui 58,70\\ \mathrm{g/mol}.
  • \rho: densidade ( \mathrm{g/cm^{3}}), aqui 8,90\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • a^{3}: volume da célula ( \mathrm{cm^{3}}) calculado no passo anterior.

Passo 8

Substituir valores e calcular numericamente.
  • Valores conhecidos:
n = 4,\quad M = 58,70\\ \mathrm{g/mol},\quad \rho = 8,90\\ \mathrm{g/cm^{3}},\quad a^{3} \approx 4,4194\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Aplicando a fórmula
N_A = \frac{4\times 58{,}70}{8{,}90 \times 4{,}4194\times 10^{-23}}.
Calcule o numerador:
4\times 58{,}70 = 234{,}80\\ \mathrm{g/mol}.
Calcule o denominador:
8{,}90 \times 4{,}4194\times 10^{-23} \approx 3{,}9333\times 10^{-22}\\ \mathrm{g/cm^{3}\cdot cm^{3}} = 3{,}9333\times 10^{-22}.
Agora a divisão:
N_A \approx \frac{234{,}80}{3{,}9333\times 10^{-22}} \approx 5{,}97\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
(Fiz a divisão mantendo casas significativas razoáveis; checando: 234{,}80/3{,}9333\approx 59{,}7 e isso vezes 10^{22} 5{,}97\times 10^{23}.)

Passo 9

Interpretação e verificação rápida.
  • O valor obtido N_A\approx 5{,}97\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} está bem próximo do valor aceito experimentalmente ( 6{,}02\times 10^{23} ou 6{,}022\times 10^{23}), considerando as aproximações (raio metálico pode variar conforme critério, pequenas imprecisões experimentais nos dados, arredondamentos).
  • Isso mostra que o método está correto: densidade + estrutura cristalina + raio atômico permitem estimar N_A.

Resposta

\displaystyle N_A \approx 5{,}97\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}

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