O galio (Ga) cristaliza em um retículo cúbico simples. A densidade do galio é
. Determine o valor para o raio atômico ou metálico.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o raio atômico (raio metálico) do gálio sabendo que ele cristaliza em retículo cúbico simples e que a densidade é
.
Informações dadas e constantes que vamos usar (tudo vindo do enunciado ou de tabela periódica padrão):
O que eu preciso encontrar: o raio atômico
(em Å ou pm).
Passo 2
Conceitos essenciais e relações úteis (explicação didática):
- Em um retículo cúbico simples a célula primitiva tem átomos apenas nos 8 cantos. Cada canto contribui com
de átomo à célula, então o número de átomos por célula é
Ou seja, há exatamente um átomo por cela unitaria numa cúbica simples.
- Geometria da cúbica simples: os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a aresta do cubo
é igual a duas vezes o raio atômico:
(Explicação: ao longo da aresta há um átomo num canto e outro no canto adjacente; o diâmetro de cada átomo soma, logo
.)
- Relação entre densidade, massa e volume da célula:
Aqui:
-
é a densidade (em ), -
é o número de átomos por célula (adimensional), -
é a massa molar do elemento (em ), -
é o número de Avogadro (em ), -
é a aresta da cela unitária (em ), -
é o volume da cela (em ). -
Isolando
na fórmula obtemos:
Depois de achar
fazemos
.
Passo 3
Aplicando os valores ao fórmulas (substituição explícita):
Então
Passo 4
Cálculo passo a passo da massa por célula e do volume da cela:
Primeiro a massa de um átomo (massa por célula):
Primeiro a massa de um átomo (massa por célula):
Agora o volume da cela:
Passo 5
Extrair a aresta
fazendo a raiz cúbica de
. Vou mostrar a decomposição para ficar claro como calcular sem calculadora (estratégia: separar mantissa e potência de 10):
Calculando aproximadamente:
e
Portanto
Converter para unidades mais usuais:
, então
Passo 6
Obter o raio atômico
:
Converter para picômetros (
):