O galio (Ga) cristaliza em um retículo cúbico simples. A densidade do galio é 5,904 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine o valor para o raio atômico ou metálico.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o raio atômico (raio metálico) do gálio sabendo que ele cristaliza em retículo cúbico simples e que a densidade é \rho = 5,904\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Informações dadas e constantes que vamos usar (tudo vindo do enunciado ou de tabela periódica padrão):
\rho = 5,904\\ \mathrm{g/cm^{3}}
\text{o estrutura é cúbica simples (retículo simples)}éúí
\text{massa atômica do Ga: } M = 69,723\\ \mathrm{g/mol}ô
\text{número de Avogadro: } N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}ú
O que eu preciso encontrar: o raio atômico r (em Å ou pm).

Passo 2

Conceitos essenciais e relações úteis (explicação didática):
  • Em um retículo cúbico simples a célula primitiva tem átomos apenas nos 8 cantos. Cada canto contribui com 1/8 de átomo à célula, então o número de átomos por célula é
n = 8\times\frac{1}{8} = 1.
Ou seja, há exatamente um átomo por cela unitaria numa cúbica simples.
  • Geometria da cúbica simples: os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a aresta do cubo a é igual a duas vezes o raio atômico:
a = 2r.
(Explicação: ao longo da aresta há um átomo num canto e outro no canto adjacente; o diâmetro de cada átomo soma, logo a=2r.)
  • Relação entre densidade, massa e volume da célula:
\rho = \frac{\text{massa por célula}}{\text{volume da célula}} = \frac{n\,M/N_A}{a^3}.éé
Aqui:
  • \rho é a densidade (em \mathrm{g/cm^3}),
  • n é o número de átomos por célula (adimensional),
  • M é a massa molar do elemento (em \mathrm{g/mol}),
  • N_A é o número de Avogadro (em \mathrm{mol^{-1}}),
  • a é a aresta da cela unitária (em \mathrm{cm}),
  • a^3 é o volume da cela (em \mathrm{cm^3}).
  • Isolando a^3 na fórmula obtemos:
a^3 = \frac{n\,M}{N_A\,\rho}.
Depois de achar a fazemos r = \dfrac{a}{2}.

Passo 3

Aplicando os valores ao fórmulas (substituição explícita):
n = 1,\qquad M = 69,723\\ \mathrm{g/mol},\qquad N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\qquad \rho = 5,904\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Então
a^3 = \frac{1\times69,723}{6,022\times10^{23}\times5,904}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 4

Cálculo passo a passo da massa por célula e do volume da cela:
Primeiro a massa de um átomo (massa por célula):
m_{\text{cel}}=\frac{M}{N_A}=\frac{69,723}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} =1,15778\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Agora o volume da cela:
a^3=\frac{m_{\text{cel}}}{\rho}=\frac{1,15778\times10^{-22}}{5,904}\\ \mathrm{cm^{3}} =1,96138\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Extrair a aresta a fazendo a raiz cúbica de a^3. Vou mostrar a decomposição para ficar claro como calcular sem calculadora (estratégia: separar mantissa e potência de 10):
a=\sqrt[3]{1,96138\times10^{-23}}=\sqrt[3]{1,96138}\times10^{-23/3}.
Calculando aproximadamente:
\sqrt[3]{1,96138}\approx1,2519
e
10^{-23/3}=10^{-7,6666\ldots}=10^{-8}\times10^{0,3333\ldots}\approx10^{-8}\times2,15443.
Portanto
a\approx1,2519\times2,15443\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} =2,696\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades mais usuais: 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}, então
a\approx2,696\\ \text{\AA}.

Passo 6

Obter o raio atômico r:
r=\frac{a}{2}=\frac{2,696\\ \text{\AA}}{2}=1,348\\ \text{\AA}.
Converter para picômetros ( 1\\ \text{\AA}=100\\ \mathrm{pm}):
r=1,348\\ \text{\AA}=134,8\\ \mathrm{pm}.

Resposta

\displaystyle r=1,348\\ \text{\AA}=134,8\\ \mathrm{pm}

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