Para o cobre, a capacidade calorífica a volume constante (
) a 20 K é de
e a temperatura de Debye é de 340 K . Estime o calor especifico (
) para as temperaturas de 400 \mathrm{~K}). A massa atômica do cobre é de
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente estimar o calor específico (c_v, em J/kg·K) do cobre a 400 K. Isso envolve a teoria do modelo de Debye (capacidade calorífica em função de T e da temperatura de Debye θ_D). A partir daí, a gente vai usar a aproximação de altas temperaturas do modelo de Debye, que diz que para T ≳ θ_D vale
onde R = 8,314 J/mol·K. Depois, convertemos a capacidade molar C_V (em J/mol·K) para específica c_v (em J/kg·K) dividindo pela massa molar M = 63,5 g/mol = 0,0635 kg/mol.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de altas temperaturas do modelo de Debye:
Explicando:
- 3R é o valor clássico (Lei de Dulong–Petit).
- O termo
é a primeira correção para T não infinitamente grande. - O fator 1/20 vem do desenvolvimento em série do modelo de Debye.
Passo 3
Substituindo θ_D = 340 K e T = 400 K:
- Calcular
:
- Elevar ao quadrado e multiplicar por 1/20:
- Calcular o fator de correção:
- Multiplicar por 3R:
Passo 4
Agora, converte para calor específico (por kg):
Resposta
c_v ≈ 379 J/(kg·K) a 400 K.