Para o cobre, a capacidade calorífica a volume constante ( Cv ) a 20 K é de 0,38 J / mol-K e a temperatura de Debye é de 340 K . Estime o calor especifico ( cv ) para as temperaturas de 400 \mathrm{~K}). A massa atômica do cobre é de 63,5 g / mol

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar o calor específico (c_v, em J/kg·K) do cobre a 400 K. Isso envolve a teoria do modelo de Debye (capacidade calorífica em função de T e da temperatura de Debye θ_D). A partir daí, a gente vai usar a aproximação de altas temperaturas do modelo de Debye, que diz que para T ≳ θ_D vale
CV approx 3Rl[1 - tfrac120l(tfracthetaDTr)^2r]
onde R = 8,314 J/mol·K. Depois, convertemos a capacidade molar C_V (em J/mol·K) para específica c_v (em J/kg·K) dividindo pela massa molar M = 63,5 g/mol = 0,0635 kg/mol.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de altas temperaturas do modelo de Debye:
CV approx 3Rl[1 - 120l(thetaDTr)^2r]
Explicando:
  • 3R é o valor clássico (Lei de Dulong–Petit).
  • O termo é a primeira correção para T não infinitamente grande.
  • O fator 1/20 vem do desenvolvimento em série do modelo de Debye.

Passo 3

Substituindo θ_D = 340 K e T = 400 K:
  1. Calcular thetaDT = 340400 = 0,85 :
120l(0,85r)^2 = 120times 0,7225 = 0,036125
  1. Elevar ao quadrado e multiplicar por 1/20:
1 - 0,036125 = 0,963875
  1. Calcular o fator de correção:
CV approx 3times 8,314;l[J/molcdot Kr]times 0,963875 approx 24,942times 0,963875 approx 24,05;J/(molcdot K)
  1. Multiplicar por 3R:

Passo 4

Agora, converte para calor específico (por kg):
cv = CVM = 24,05;J/(molcdot K)0,0635;kg/mol approx 378,7;J/(kgcdot K)

Resposta

c_v ≈ 379 J/(kg·K) a 400 K.

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