Cobre metálico se cristaliza num retículo cúbico de face centrada. Sabendose que o raio de um átomo de cobre nesta estrutura é de 0,128 \mathrm{~nm}, qual é o comprimento da aresta da célula unitária?

Passo 1

O enunciado nos dá claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Dados:
    • O metal cristaliza em retículo cúbico de face centrada (FCC).
    • O raio atômico vale \,r=0,128\\ \mathrm{nm}.
  • Pedido:
    • Determinar o comprimento da aresta da célula unitária, ou seja \,a.

Passo 2

Entender a geometria importante (explicação didática e visual):
Num retículo cúbico de face centrada, há átomos nos vértices do cubo e em cada centro de face. Os átomos são modelados como esferas que se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. Imagine uma face do cubo: os centros dos três átomos que ficam sobre a diagonal da face (vértice — centro da face — vértice) estão alinhados e as esferas se tocam sucessivamente.
Dois pontos importantes para memorizar/usar em prova:
  • O comprimento da diagonal de uma face do cubo é \,a\sqrt{2} (fórmula geométrica do quadrado da face).
  • Ao longo dessa diagonal existem três centros de átomos que tocam: vértice → face central → vértice. Portanto a diagonal da face vale a soma de quatro raios atômicos, ou seja \,a\sqrt{2}=4r. (Explicação: vértice→face-centro é 2r e face-centro→outro vértice é mais 2r, total 4r.)

Passo 3

Escrever a relação entre \,a e \,r que acabamos de justificar:
a\sqrt{2}=4r.
Isolando \,a,
a=\frac{4r}{\sqrt{2}}.
Simplificando \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}, obtemos a fórmula prática usada com frequência:
a=2\sqrt{2}\,r.

Passo 4

Substituir o valor numérico de \,r na fórmula. Primeiro lembrar o valor aproximado de \sqrt{2}:
\sqrt{2}\approx1,41421356.
Então
2\sqrt{2}\approx2\times1,41421356\approx2,82842712.

Passo 5

Agora calcular \,a multiplicando por \,r:
a=2\sqrt{2}\,r\approx2,82842712\times0,128\\ \mathrm{nm}.
Fazendo a multiplicação:
a\approx0,362038\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos do dado ( r=0,128\\ \mathrm{nm} tem três algarismos significativos), usamos três algarismos significativos também:
a\approx0,362\\ \mathrm{nm}.

Resposta

a=0,362\\ \mathrm{nm}

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