Cobre metálico se cristaliza num retículo cúbico de face centrada. Sabendose que o raio de um átomo de cobre nesta estrutura é de
, qual é o comprimento da aresta da célula unitária?
Passo 1
O enunciado nos dá claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
-
Dados:
- O metal cristaliza em retículo cúbico de face centrada (FCC).
- O raio atômico vale
.
-
Pedido:
- Determinar o comprimento da aresta da célula unitária, ou seja
.
- Determinar o comprimento da aresta da célula unitária, ou seja
Passo 2
Entender a geometria importante (explicação didática e visual):
Num retículo cúbico de face centrada, há átomos nos vértices do cubo e em cada centro de face. Os átomos são modelados como esferas que se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. Imagine uma face do cubo: os centros dos três átomos que ficam sobre a diagonal da face (vértice — centro da face — vértice) estão alinhados e as esferas se tocam sucessivamente.
Num retículo cúbico de face centrada, há átomos nos vértices do cubo e em cada centro de face. Os átomos são modelados como esferas que se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. Imagine uma face do cubo: os centros dos três átomos que ficam sobre a diagonal da face (vértice — centro da face — vértice) estão alinhados e as esferas se tocam sucessivamente.
Dois pontos importantes para memorizar/usar em prova:
- O comprimento da diagonal de uma face do cubo é
(fórmula geométrica do quadrado da face). - Ao longo dessa diagonal existem três centros de átomos que tocam: vértice → face central → vértice. Portanto a diagonal da face vale a soma de quatro raios atômicos, ou seja
. (Explicação: vértice→face-centro é e face-centro→outro vértice é mais , total .)
Passo 3
Escrever a relação entre
e
que acabamos de justificar:
Isolando
,
Simplificando
, obtemos a fórmula prática usada com frequência:
Passo 4
Substituir o valor numérico de
na fórmula. Primeiro lembrar o valor aproximado de
:
Então
Passo 5
Agora calcular
multiplicando por
:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando de acordo com os algarismos significativos do dado (
tem três algarismos significativos), usamos três algarismos significativos também: