O código Morse usa "pontos"e “traços”. Quantas sequências distintas podem ser formadas usando exatamente 3 pontos e 4 traços?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas sequências distintas podem ser formadas usando exatamente 3 pontos e 4 traços?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há exatamente
símbolos do tipo “ponto” (todos idênticos entre si). - Há exatamente
símbolos do tipo “traço” (todos idênticos entre si). - Cada sequência é uma ordem linear dos
símbolos.
O objetivo é contar o número de sequências distintas (ordenações) possíveis com esses símbolos repetidos.
Passo 2
Ideia e justificação do método (intuição):
Se todos os símbolos fossem distintos (por exemplo ), o número de ordenações seria
(sete fatorial), porque para cada permutação dos 7 elementos temos uma sequência diferente. Mas aqui há repetição: os
pontos são indistinguíveis entre si e os
traços são indistinguíveis entre si. Para compensar as permutações que apenas trocam símbolos idênticos, devemos dividir por
(todas as permutações internas dos pontos) e por
(todas as permutações internas dos traços). Assim obtemos a fórmula para permutações de um multiconjunto:
Se todos os símbolos fossem distintos (por exemplo
Outra forma equivalente, mais direta para contar posições, é: escolher quais
das
posições vão receber pontos; o restante serão traços. O número de formas de escolher
posições entre
é o coeficiente binomial
que é igual a
. Ambas as interpretações são a mesma conta vista de ângulos diferentes.
Passo 3
Vou calcular
usando a fórmula reduzida para evitar calcular fatoriais grandes desnecessariamente:
Expliquei: no numerador toma-se os
fatores decrescentes a partir de
(porque
dá isso) e no denominador fica
.
Passo 4
Efetuando as multiplicações e a simplificação passo a passo:
Também é possível verificar com a fórmula de fatoriais completa:
o que confirma o mesmo resultado.
Passo 5
Intuição final e exemplo pequeno para fixar: escolher as posições dos pontos entre as 7 é o mesmo que dizer “em quais 3 lugares coloco pontos?”. Uma vez escolhidos, os traços ficam automaticamente nas outras posições. Como exemplo menor, com
pontos e
traço (total
símbolos) o número de sequências seria
, que são as sequências: pontos e
traços, só com números maiores.
..-, .-., -... O raciocínio é idêntico para