O código Morse usa "pontos"e “traços”. Quantas sequências distintas podem ser formadas usando exatamente 3 pontos e 4 traços?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas sequências distintas podem ser formadas usando exatamente 3 pontos e 4 traços?”
Informações dadas:
  • Há exatamente 3 símbolos do tipo “ponto” (todos idênticos entre si).
  • Há exatamente 4 símbolos do tipo “traço” (todos idênticos entre si).
  • Cada sequência é uma ordem linear dos 3+4=7 símbolos.
O objetivo é contar o número de sequências distintas (ordenações) possíveis com esses símbolos repetidos.

Passo 2

Ideia e justificação do método (intuição):
Se todos os símbolos fossem distintos (por exemplo a,b,c,d,e,f,g), o número de ordenações seria 7! (sete fatorial), porque para cada permutação dos 7 elementos temos uma sequência diferente. Mas aqui há repetição: os 3 pontos são indistinguíveis entre si e os 4 traços são indistinguíveis entre si. Para compensar as permutações que apenas trocam símbolos idênticos, devemos dividir por 3! (todas as permutações internas dos pontos) e por 4! (todas as permutações internas dos traços). Assim obtemos a fórmula para permutações de um multiconjunto:
\text{número de sequências}=\frac{7!}{3!\,4!}.úê
Outra forma equivalente, mais direta para contar posições, é: escolher quais 3 das 7 posições vão receber pontos; o restante serão traços. O número de formas de escolher 3 posições entre 7 é o coeficiente binomial
\binom{7}{3},
que é igual a \dfrac{7!}{3!4!}. Ambas as interpretações são a mesma conta vista de ângulos diferentes.

Passo 3

Vou calcular \binom{7}{3} usando a fórmula reduzida para evitar calcular fatoriais grandes desnecessariamente:
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Expliquei: no numerador toma-se os 3 fatores decrescentes a partir de 7 (porque 7!/(7-3)! dá isso) e no denominador fica 3!.

Passo 4

Efetuando as multiplicações e a simplificação passo a passo:
7\cdot6\cdot5=210,
3\cdot2\cdot1=6,
\binom{7}{3}=\frac{210}{6}=35.
Também é possível verificar com a fórmula de fatoriais completa:
\frac{7!}{3!\,4!}=\frac{5040}{6\cdot24}=\frac{5040}{144}=35,
o que confirma o mesmo resultado.

Passo 5

Intuição final e exemplo pequeno para fixar: escolher as posições dos pontos entre as 7 é o mesmo que dizer “em quais 3 lugares coloco pontos?”. Uma vez escolhidos, os traços ficam automaticamente nas outras posições. Como exemplo menor, com 2 pontos e 1 traço (total 3 símbolos) o número de sequências seria \binom{3}{2}=3, que são as sequências: ..-, .-., -... O raciocínio é idêntico para 3 pontos e 4 traços, só com números maiores.

Resposta

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