Quantos anagramas distintos podem ser formados com todas as letras da palavra MATEMATICA?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos podem ser formados usando todas as letras da palavra MATEMATICA.
Informações dadas (peguei da própria palavra):
  • Total de letras: \,10\,.
  • Contagem de cada letra:
    • A: \,3\, ocorrências.
    • M: \,2\, ocorrências.
    • T: \,2\, ocorrências.
    • E: \,1\, ocorrência.
    • I: \,1\, ocorrência.
    • C: \,1\, ocorrência.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): se todas as letras fossem diferentes, o número de maneiras de ordenar 10 letras seria 10! (lê-se “dez fatorial”), que é o produto
10! = 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Mas aqui há letras repetidas. Quando existem repetições, permutações que apenas trocam posições entre letras idênticas não produzem anagramas distintos — elas são a mesma palavra. Para corrigir isso, dividimos por k! para cada letra que se repete k vezes, porque entre as k cópias dessa letra há k! permutações que não mudam a palavra.
Aplicando isso ao caso:
\text{nº de anagramas}=\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!},º
onde 3! corrige as permutações entre as três A, e cada 2! corrige as permutações entre as duas M e entre as duas T. (Os 1! das letras únicas valem 1 e não mudam nada.)

Passo 3

Vamos calcular passo a passo e de um jeito que você consiga fazer sem calculadora.
Calcule 10!:
10! = 3628800.
Divida por 3! primeiro ( 3! = 6):
\frac{10!}{3!}=\frac{3628800}{6}=604800.
Divida pelo primeiro 2! (para as M, 2! = 2):
\frac{604800}{2}=302400.
Divida pelo segundo 2! (para as T):
\frac{302400}{2}=151200.
Portanto o valor final é \,151200\,.

Passo 4

Um pequeno exemplo para fixar a ideia: com a palavra curta AAB (duas A e um B), o número de anagramas é
\frac{3!}{2!}= \frac{6}{2}=3,
as palavras sendo AAB, ABA e BAA. Viu como dividir por 2! remove as permutações entre as duas A que não geram novas palavras? É a mesma lógica que usamos para MATEMATICA, só com mais letras.

Passo 5

Resumo prático para a prova: conte as ocorrências de cada letra, calcule n! com n o total de letras e divida pelo produto dos fatoriais das multiplicidades. Se fizer as divisões na ordem que mostrei (primeiro pelo maior factorial), dá pra fazer tudo à mão rápido. Você fez certo em pedir resolução passo a passo — dá pra decorar o procedimento e repetir na prova com calma. Força aí, tá indo bem!

Resposta

151200

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