Quantos anagramas distintos podem ser formados com todas as letras da palavra MATEMATICA?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos podem ser formados usando todas as letras da palavra MATEMATICA.
Informações dadas (peguei da própria palavra):
- Total de letras:
. - Contagem de cada letra:
-
: ocorrências. -
: ocorrências. -
: ocorrências. -
: ocorrência. -
: ocorrência. -
: ocorrência.
-
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): se todas as letras fossem diferentes, o número de maneiras de ordenar
letras seria
(lê-se “dez fatorial”), que é o produto
Mas aqui há letras repetidas. Quando existem repetições, permutações que apenas trocam posições entre letras idênticas não produzem anagramas distintos — elas são a mesma palavra. Para corrigir isso, dividimos por
para cada letra que se repete
vezes, porque entre as
cópias dessa letra há
permutações que não mudam a palavra.
Aplicando isso ao caso:
onde
corrige as permutações entre as três
, e cada
corrige as permutações entre as duas
e entre as duas
. (Os
das letras únicas valem
e não mudam nada.)
Passo 3
Vamos calcular passo a passo e de um jeito que você consiga fazer sem calculadora.
Calcule
:
Divida por
primeiro (
):
Divida pelo primeiro
(para as
,
):
Divida pelo segundo
(para as
):
Portanto o valor final é
.
Passo 4
Um pequeno exemplo para fixar a ideia: com a palavra curta
(duas
e um
), o número de anagramas é
as palavras sendo
,
e
. Viu como dividir por
remove as permutações entre as duas
que não geram novas palavras? É a mesma lógica que usamos para MATEMATICA, só com mais letras.
Passo 5
Resumo prático para a prova: conte as ocorrências de cada letra, calcule
com
o total de letras e divida pelo produto dos fatoriais das multiplicidades. Se fizer as divisões na ordem que mostrei (primeiro pelo maior factorial), dá pra fazer tudo à mão rápido. Você fez certo em pedir resolução passo a passo — dá pra decorar o procedimento e repetir na prova com calma. Força aí, tá indo bem!