Uma prova é composta por 10 questões do tipo Verdadeiro (V) ou Falso (F). De quantas maneiras diferentes um aluno pode preencher o gabarito chutando todas as respostas de modo a obter exatamente 7 "Verdadeiros"e 3 “Falsos”?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A prova tem 10 questões.
  • Cada questão admite só duas opções de resposta: “Verdadeiro” (V) ou “Falso” (F).
  • O aluno vai chutar todas as respostas de modo que exatamente 7 respostas sejam “V” e exatamente 3 sejam “F”.
O que o enunciado pede:
  • Determinar de quantas maneiras diferentes o aluno pode preencher o gabarito obedecendo a essa condição (exatamente 7 V e 3 F).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): imagine as 10 posições das respostas numeradas de 1 a 10. Uma forma equivalente de contar os gabaritos desejados é escolher quais 7 dessas 10 posições receberão “V” (as restantes 3 automaticamente serão “F”).
Quando a ordem das posições não importa além de quais posições são escolhidas, estamos no caso clássico de combinações. A quantidade de maneiras de escolher k itens dentre n sem importar a ordem é dada pelo coeficiente binomial.
Apresentando a fórmula do coeficiente binomial e o que cada símbolo significa:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
onde:
  • n! (lê‑se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de 1 até n: n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1;
  • n é o número total de posições (aqui n=10);
  • k é o número de posições a escolher (aqui k=7);
  • \binom{n}{k} é o número de subconjuntos de tamanho k que se podem formar a partir de um conjunto de n elementos (aqui, subconjuntos de posições que receberão “V”).
Exemplo simples para fixar: se houvesse 4 questões e quiséssemos exatamente 2 V, teríamos
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=\frac{24}{4}=6,
ou seja, existem 6 gabaritos com exatamente dois V entre quatro questões.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema com n=10 e k=7:
\binom{10}{7}=\frac{10!}{7!\,3!}.

Passo 4

Fazer a conta de forma prática, cancelando termos para facilitar o cálculo sem calculadora:
\frac{10!}{7!\,3!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot(3\cdot2\cdot1)}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Agora calcular passo a passo:
10\cdot9\cdot8 = 720, \qquad 3\cdot2\cdot1 = 6,
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\frac{720}{6}=120.

Passo 5

Verificação intuitiva rápida: como \binom{10}{7}=\binom{10}{3}, podíamos também pensar em escolher as 3 posições que serão “F” em vez das 7 que serão “V”; ambas as contagens dão o mesmo resultado 120. Boa prática para prova: escolher a visão que deixa o cálculo mais simples.

Resposta

\binom{10}{7}=120

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