Uma prova é composta por 10 questões do tipo Verdadeiro (V) ou Falso (F). De quantas maneiras diferentes um aluno pode preencher o gabarito chutando todas as respostas de modo a obter exatamente 7 "Verdadeiros"e 3 “Falsos”?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- A prova tem
questões. - Cada questão admite só duas opções de resposta: “Verdadeiro” (V) ou “Falso” (F).
- O aluno vai chutar todas as respostas de modo que exatamente
respostas sejam “V” e exatamente sejam “F”.
O que o enunciado pede:
- Determinar de quantas maneiras diferentes o aluno pode preencher o gabarito obedecendo a essa condição (exatamente
V e F).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): imagine as
posições das respostas numeradas de
a
. Uma forma equivalente de contar os gabaritos desejados é escolher quais
dessas
posições receberão “V” (as restantes
automaticamente serão “F”).
Quando a ordem das posições não importa além de quais posições são escolhidas, estamos no caso clássico de combinações. A quantidade de maneiras de escolher itens dentre
sem importar a ordem é dada pelo coeficiente binomial.
Quando a ordem das posições não importa além de quais posições são escolhidas, estamos no caso clássico de combinações. A quantidade de maneiras de escolher
Apresentando a fórmula do coeficiente binomial e o que cada símbolo significa:
onde:
-
(lê‑se “ fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de até : ; -
é o número total de posições (aqui ); -
é o número de posições a escolher (aqui ); -
é o número de subconjuntos de tamanho que se podem formar a partir de um conjunto de elementos (aqui, subconjuntos de posições que receberão “V”).
Exemplo simples para fixar: se houvesse
questões e quiséssemos exatamente
V, teríamos
ou seja, existem
gabaritos com exatamente dois V entre quatro questões.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema com
e
:
Passo 4
Fazer a conta de forma prática, cancelando termos para facilitar o cálculo sem calculadora:
Agora calcular passo a passo:
logo
Passo 5
Verificação intuitiva rápida: como
, podíamos também pensar em escolher as
posições que serão “F” em vez das
que serão “V”; ambas as contagens dão o mesmo resultado
. Boa prática para prova: escolher a visão que deixa o cálculo mais simples.