Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada numa parede vertical e seus pés (apoiados no chão) estão sendo afastados da parede a uma velocidade constante de
. Com que taxa de variação (em radianos por segundo) o ângulo entre a escada e a parede está aumentando quando os pés da escada estão a 4 metros da parede ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Comprimento da escada:
. - A distância horizontal dos pés da escada à parede é
. - Essa distância está aumentando a uma taxa constante:
. - Pergunta: com que taxa (em radianos por segundo) o ângulo entre a escada e a parede está aumentando quando
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Queremos
no instante em que , sendo o ângulo entre a escada e a parede (ou seja, o ângulo no topo, entre a escada e a vertical). - A escada tem comprimento fixo
, logo e a altura do topo na parede obedecem a uma relação geométrica fixa (teorema de Pitágoras).
Passo 2
Definir variáveis e relacionamentos geométricos (muito importante para não se perder na prova):
- Seja
a distância horizontal do pé da escada até a parede (unidade: metros). - Seja
a altura do topo da escada na parede (unidade: metros). - Seja
o ângulo entre a escada e a parede (unidade: radianos). Este ângulo está no vértice superior; a partir do triângulo retângulo formado, o lado adjacente a é e o lado oposto é . - Pela geometria do triângulo retângulo formado pela escada, chão e parede, vale o teorema de Pitágoras:
- Também, usando trigonometria no ângulo
(ângulo entre escada e parede):
(Esses relacionamentos vêm de “oposto sobre hipotenusa” e “adjacente sobre hipotenusa”.)
Passo 3
Escolher a equação mais simples que relaciona
e
para diferenciar em relação ao tempo:
- A relação direta mais simples é
- Essa equação é boa porque envolve
(cuja taxa é conhecida) e (cuja taxa queremos).
Breve explicação da diferenciação que vamos usar:
- Vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo
. Ao derivar usamos a regra da cadeia: derivada de é multiplicada pela derivada interna .
Passo 4
Diferenciar
em relação ao tempo
:
- Derivando ambos os lados,
- Isolando
,
Essa fórmula nos diz que a taxa angular depende da rapidez com que o pé se afasta (
), do comprimento
e do valor de
no instante considerado.
Passo 5
Calcular
quando
:
- Primeiro achar
usando Pitágoras (peguei e do enunciado):
- Então
(Alternativamente poderia usar
e então
.)
Passo 6
Substituir os valores conhecidos na expressão para
:
- Temos
, e . Logo
- Interpretação: o ângulo entre a escada e a parede está aumentando a
quando os pés estão a da parede.
Dica rápida para a prova: desenhe o triângulo, escolha a relação trigonométrica mais direta entre a variável conhecida (
) e a incógnita angular (
), diferencie com a regra da cadeia e substitua os valores numéricos — é um procedimento padrão em problemas de taxas relacionadas (related rates).
Resposta
(e)