Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada numa parede vertical e seus pés (apoiados no chão) estão sendo afastados da parede a uma velocidade constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que taxa de variação (em radianos por segundo) o ângulo entre a escada e a parede está aumentando quando os pés da escada estão a 4 metros da parede ?
(a) \frac{15}{16} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
(b) \frac{3}{4} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
(c) \frac{5}{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
(d) \frac{16}{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
(e) 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Comprimento da escada: L=5\\ \mathrm{m}.
  • A distância horizontal dos pés da escada à parede é x(t).
  • Essa distância está aumentando a uma taxa constante: \dfrac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Pergunta: com que taxa (em radianos por segundo) o ângulo entre a escada e a parede está aumentando quando x=4\\ \mathrm{m}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Queremos \dfrac{d\theta}{dt} no instante em que x=4\\ \mathrm{m}, sendo \theta o ângulo entre a escada e a parede (ou seja, o ângulo no topo, entre a escada e a vertical).
  • A escada tem comprimento fixo L, logo x e a altura y do topo na parede obedecem a uma relação geométrica fixa (teorema de Pitágoras).

Passo 2

Definir variáveis e relacionamentos geométricos (muito importante para não se perder na prova):
  • Seja x(t) a distância horizontal do pé da escada até a parede (unidade: metros).
  • Seja y(t) a altura do topo da escada na parede (unidade: metros).
  • Seja \theta(t) o ângulo entre a escada e a parede (unidade: radianos). Este ângulo está no vértice superior; a partir do triângulo retângulo formado, o lado adjacente a \theta é y e o lado oposto é x.
  • Pela geometria do triângulo retângulo formado pela escada, chão e parede, vale o teorema de Pitágoras:
x^2 + y^2 = L^2.
  • Também, usando trigonometria no ângulo \theta (ângulo entre escada e parede):
\sin(\theta)=\frac{x}{L},\qquad \cos(\theta)=\frac{y}{L}.
(Esses relacionamentos vêm de “oposto sobre hipotenusa” e “adjacente sobre hipotenusa”.)

Passo 3

Escolher a equação mais simples que relaciona x e \theta para diferenciar em relação ao tempo:
  • A relação direta mais simples é
x = L\sin(\theta).
  • Essa equação é boa porque envolve x (cuja taxa \dfrac{dx}{dt} é conhecida) e \theta (cuja taxa queremos).
Breve explicação da diferenciação que vamos usar:
  • Vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo t. Ao derivar \sin(\theta(t)) usamos a regra da cadeia: derivada de \sin é \cos multiplicada pela derivada interna \dfrac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Diferenciar x = L\sin(\theta) em relação ao tempo t:
  • Derivando ambos os lados,
\frac{dx}{dt} = L\cos(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.
  • Isolando \dfrac{d\theta}{dt},
\frac{d\theta}{dt}=\frac{\dfrac{dx}{dt}}{L\cos(\theta)}.
Essa fórmula nos diz que a taxa angular depende da rapidez com que o pé se afasta ( \dfrac{dx}{dt}), do comprimento L e do valor de \cos(\theta) no instante considerado.

Passo 5

Calcular \cos(\theta) quando x=4\\ \mathrm{m}:
  • Primeiro achar y usando Pitágoras (peguei L=5 e x=4 do enunciado):
y=\sqrt{L^2-x^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\\ \mathrm{m}.
  • Então
\cos(\theta)=\frac{y}{L}=\frac{3}{5}.
(Alternativamente poderia usar \sin(\theta)=x/L=4/5 e então \cos(\theta)=\sqrt{1-(4/5)^2}=3/5.)

Passo 6

Substituir os valores conhecidos na expressão para \dfrac{d\theta}{dt}:
  • Temos \dfrac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, L=5\\ \mathrm{m} e \cos(\theta)=3/5. Logo
\frac{d\theta}{dt}=\frac{3}{5\cdot(3/5)}=\frac{3}{3}=1\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • Interpretação: o ângulo entre a escada e a parede está aumentando a 1\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} quando os pés estão a 4\\ \mathrm{m} da parede.
Dica rápida para a prova: desenhe o triângulo, escolha a relação trigonométrica mais direta entre a variável conhecida ( x) e a incógnita angular ( \theta), diferencie com a regra da cadeia e substitua os valores numéricos — é um procedimento padrão em problemas de taxas relacionadas (related rates).

Resposta

(e) 1\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}

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