Questão 8 - Uma casa construída à beira de um rio deve ser resfriada no verão utilizando a água fria do rio, que escoa a uma temperatura média de 15^{\circ} \mathrm{C}. Um trecho de 15 m de comprimento de um duto circular de 20 cm de diâmetro passa através da água. O ar entra a 32^{\circ} \mathrm{C} na seção do duto submersa com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que a superfície do duto esteja na temperatura da água e desprezando o comprimento de entrada necessário para desenvolvimento, determine a temperatura do ar na seção de saída.
Propriedades do ar: \rho=1,1614 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; c_{p}=1007 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) ; \mathrm{v}=15,89 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=0,707 \mathrm{e} k=0,0263 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede: determinar a temperatura do ar na seção de saída do duto submerso (isto é, a temperatura do ar após percorrer 15\\ \mathrm{m} do duto cuja superfície está a 15^\circ\mathrm{C}).
  • Dados do enunciado:
    • Comprimento do trecho submerso: L=15\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro interno do duto: D=0,20\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da água (e da superfície do duto): T_w=15^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar na entrada: T_{in}=32^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade do ar no duto: v=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • Desprezar comprimento de entrada para desenvolvimento (assumir escoamento termicamente totalmente desenvolvido).
  • Propriedades do ar fornecidas (usar estas para os cálculos):
    • Densidade: \rho=1{,}1614\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Capacidade calorífica a pressão constante: c_p=1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Viscosidade cinemática: \nu=15{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=0{,}707.
    • Condutividade térmica: k=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 2

Área da seção, vazão mássica e perímetro molhado — fórmulas e cálculos passo a passo.
  • Área da seção transversal do duto (círculo):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}20)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}01=0{,}0314159\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão mássica \dot{m} (massa de ar por segundo):
\dot{m}=\rho\,A\,v.
Substituindo:
\dot{m}=1{,}1614\cdot0{,}0314159\cdot3{,}0\approx0{,}10945\\ \mathrm{kg/s}.
  • Perímetro molhado (circunferência interna do duto):
P=\pi D=\pi\cdot0{,}20=0{,}6283185\\ \mathrm{m}.
(Explanação curta: \dot{m} é a massa de ar que passa por qualquer seção por segundo; precisamos dela na equação de balanço de energia.)

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e identificar o regime de escoamento.
  • Definição do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{3{,}0\cdot0{,}20}{15{,}89\times10^{-6}}=\frac{0{,}6}{1{,}589\times10^{-5}}\approx3{,}78\times10^{4}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx3{,}8\times10^{4} é bem maior que 4000, portanto o escoamento é turbulento. Isso orienta a escolha de uma correlação empírica de convecção interna para fluxo turbulento.

Passo 4

Escolha e uso da correlação de Nusselt (Dittus–Boelter) — justificativa e cálculo.
  • Por que usar essa correlação: para escoamento interno, turbulento e superfície lisa, uma correlação simples e amplamente usada é a de Dittus–Boelter. O enunciado permite desprezar comprimento de entrada e usar regime desenvolvido, então a Dittus–Boelter é apropriada.
  • Fórmula da correlação de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido pela parede (parede mais quente que o fluido) ou n=0{,}3 se o fluido está sendo resfriado pela parede (parede mais fria que o fluido). Aqui a parede está a 15^\circ\mathrm{C} e o ar entra mais quente ( 32^\circ\mathrm{C}), então o ar está sendo resfriado — usamos n=0{,}3.
  • Calcular \mathrm{Nu}:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,(3{,}78\times10^{4})^{0{,}8}\,(0{,}707)^{0{,}3}.
Fazendo as potências (detalhe numérico já efetuado):
(3{,}78\times10^{4})^{0{,}8}\approx4553,\qquad (0{,}707)^{0{,}3}\approx0{,}901.
Logo
\mathrm{Nu}\approx0{,}023\cdot4553\cdot0{,}901\approx94{,}3.
(Explicação: \mathrm{Nu} é a razão entre transporte convectivo e condutivo característico; a correlação transforma Re e Pr em um coeficiente convectivo.)

Passo 5

Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção h.
  • Relação entre Nusselt e h:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Substituindo:
h=\frac{94{,}3\cdot0{,}0263}{0{,}20}\approx\frac{2{,}478}{0{,}20}\approx12{,}39\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(Interpretação: h é a taxa de calor por unidade de área e por grau de diferença entre o ar e a parede.)

Passo 6

Formulação do balanço de energia e solução analítica para temperatura ao longo do duto.
  • Considere um elemento diferencial de comprimento dx do duto. O ar entra com temperatura T(x) e perde calor para a parede a T_w. Balanço de energia (estado estacionário, sem geração interna, fluxo unidimensional e mudanças de energia cinética desprezíveis) dá:
\dot{m}c_p\,\frac{dT}{dx}=-hP\bigl(T(x)-T_w\bigr).
  • Explicando cada termo:
    • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s).
    • c_p é a capacidade térmica (J/(kg·K)).
    • dT/dx é a variação da temperatura do ar por comprimento.
    • hP\,dx é a área de troca no trecho dx vezes coeficiente h; multiplicado pela diferença de temperatura dá potência térmica removida.
  • Rearranjando:
\frac{dT}{dx}=-\frac{hP}{\dot{m}c_p}\bigl(T-T_w\bigr).
Isto é uma ODE linear de primeira ordem com solução exponencial. Integrando de x=0 (entrada, T(0)=T_{in}) até x=L:
T(L)-T_w=(T_{in}-T_w)\exp\!\Bigl(-\frac{hP}{\dot{m}c_p}L\Bigr).
Portanto a temperatura de saída é
T_{out}=T_w+(T_{in}-T_w)\exp\!\Bigl(-\frac{hP}{\dot{m}c_p}L\Bigr).
(Observação didática: essa equação é a forma clássica do resfriamento forçado em um duto com parede a temperatura constante; o fator dentro do exponencial é adimensional e mede a eficiência do resfriamento ao longo do comprimento.)

Passo 7

Cálculo numérico do expoente e da temperatura de saída.
  • Calcular o parâmetro adimensional \alpha=\dfrac{hP}{\dot{m}c_p}:
\alpha=\frac{12{,}39\cdot0{,}6283185}{0{,}10945\cdot1007}.
Numerador:
12{,}39\cdot0{,}6283185\approx7{,}784\\ (\mathrm{W/K}).
Denominador:
0{,}10945\cdot1007\approx110{,}22\\ (\mathrm{W/K}).
Logo
\alpha\approx\frac{7{,}784}{110{,}22}\approx0{,}0706\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Expoente total sobre o comprimento L=15\\ \mathrm{m}:
\alpha L\approx0{,}0706\cdot15\approx1{,}059.
  • Fator exponencial:
\exp(-\alpha L)=\exp(-1{,}059)\approx0{,}3467.
  • Finalmente, temperatura de saída:
T_{out}=15^\circ\mathrm{C}+(32^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C})\cdot0{,}3467.
T_{out}=15+17\cdot0{,}3467\approx15+5{,}894\approx20{,}89^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação curta, verificação rápida de consistência e incentivo.
  • Resultado plausível: o ar entra a 32^\circ\mathrm{C} e sai bastante mais frio, cerca de 20{,}9^\circ\mathrm{C}; é coerente com o fato de o ar trocar calor com uma parede a 15^\circ\mathrm{C} ao longo de 15\\ \mathrm{m} com coeficiente de troca razoavelmente baixo (ar tem baixo h).
  • Observações sobre hipóteses: usamos Dittus–Boelter (válida para escoamento interno turbulento e superfície lisa), desprezamos desenvolvimento térmico inicial e variações de propriedades com temperatura (usamos valores médios fornecidos). Essas hipóteses são típicas em provas e dão um resultado confiável dentro das aproximações.
  • Fica a dica: em prova, explique brevemente por que escolheu n=0{,}3 na Dittus–Boelter (fluido sendo resfriado) — isso mostra entendimento e garante a correlação correta.

Resposta

T_{out}\approx20{,}9^\circ\mathrm{C}

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