Questão 8 - Uma casa construída à beira de um rio deve ser resfriada no verão utilizando a água fria do rio, que escoa a uma temperatura média de
. Um trecho de 15 m de comprimento de um duto circular de 20 cm de diâmetro passa através da água. O ar entra a
na seção do duto submersa com velocidade de
. Considerando que a superfície do duto esteja na temperatura da água e desprezando o comprimento de entrada necessário para desenvolvimento, determine a temperatura do ar na seção de saída.
Propriedades do ar:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede: determinar a temperatura do ar na seção de saída do duto submerso (isto é, a temperatura do ar após percorrer
do duto cuja superfície está a ). - Dados do enunciado:
- Comprimento do trecho submerso:
. - Diâmetro interno do duto:
. - Temperatura da água (e da superfície do duto):
. - Temperatura do ar na entrada:
. - Velocidade do ar no duto:
. - Desprezar comprimento de entrada para desenvolvimento (assumir escoamento termicamente totalmente desenvolvido).
- Comprimento do trecho submerso:
- Propriedades do ar fornecidas (usar estas para os cálculos):
- Densidade:
. - Capacidade calorífica a pressão constante:
. - Viscosidade cinemática:
. - Número de Prandtl:
. - Condutividade térmica:
.
- Densidade:
Passo 2
Área da seção, vazão mássica e perímetro molhado — fórmulas e cálculos passo a passo.
- Área da seção transversal do duto (círculo):
Substituindo
:
- Vazão mássica
(massa de ar por segundo):
Substituindo:
- Perímetro molhado (circunferência interna do duto):
(Explanação curta:
é a massa de ar que passa por qualquer seção por segundo; precisamos dela na equação de balanço de energia.)
Passo 3
Calcular o número de Reynolds e identificar o regime de escoamento.
- Definição do número de Reynolds:
Substituindo os valores:
- Interpretação:
é bem maior que , portanto o escoamento é turbulento. Isso orienta a escolha de uma correlação empírica de convecção interna para fluxo turbulento.
Passo 4
Escolha e uso da correlação de Nusselt (Dittus–Boelter) — justificativa e cálculo.
- Por que usar essa correlação: para escoamento interno, turbulento e superfície lisa, uma correlação simples e amplamente usada é a de Dittus–Boelter. O enunciado permite desprezar comprimento de entrada e usar regime desenvolvido, então a Dittus–Boelter é apropriada.
- Fórmula da correlação de Dittus–Boelter:
onde
se o fluido está sendo aquecido pela parede (parede mais quente que o fluido) ou
se o fluido está sendo resfriado pela parede (parede mais fria que o fluido). Aqui a parede está a
e o ar entra mais quente (
), então o ar está sendo resfriado — usamos
.
- Calcular
:
Fazendo as potências (detalhe numérico já efetuado):
Logo
(Explicação:
é a razão entre transporte convectivo e condutivo característico; a correlação transforma Re e Pr em um coeficiente convectivo.)
Passo 5
Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção
.
- Relação entre Nusselt e
:
Substituindo:
(Interpretação:
é a taxa de calor por unidade de área e por grau de diferença entre o ar e a parede.)
Passo 6
Formulação do balanço de energia e solução analítica para temperatura ao longo do duto.
- Considere um elemento diferencial de comprimento
do duto. O ar entra com temperatura e perde calor para a parede a . Balanço de energia (estado estacionário, sem geração interna, fluxo unidimensional e mudanças de energia cinética desprezíveis) dá:
- Explicando cada termo:
-
é a vazão mássica (kg/s). -
é a capacidade térmica (J/(kg·K)). -
é a variação da temperatura do ar por comprimento. -
é a área de troca no trecho vezes coeficiente ; multiplicado pela diferença de temperatura dá potência térmica removida.
-
- Rearranjando:
Isto é uma ODE linear de primeira ordem com solução exponencial. Integrando de
(entrada,
) até
:
Portanto a temperatura de saída é
(Observação didática: essa equação é a forma clássica do resfriamento forçado em um duto com parede a temperatura constante; o fator dentro do exponencial é adimensional e mede a eficiência do resfriamento ao longo do comprimento.)
Passo 7
Cálculo numérico do expoente e da temperatura de saída.
- Calcular o parâmetro adimensional
:
Numerador:
Denominador:
Logo
- Expoente total sobre o comprimento
:
- Fator exponencial:
- Finalmente, temperatura de saída:
Passo 8
Interpretação curta, verificação rápida de consistência e incentivo.
- Resultado plausível: o ar entra a
e sai bastante mais frio, cerca de ; é coerente com o fato de o ar trocar calor com uma parede a ao longo de com coeficiente de troca razoavelmente baixo (ar tem baixo ). - Observações sobre hipóteses: usamos Dittus–Boelter (válida para escoamento interno turbulento e superfície lisa), desprezamos desenvolvimento térmico inicial e variações de propriedades com temperatura (usamos valores médios fornecidos). Essas hipóteses são típicas em provas e dão um resultado confiável dentro das aproximações.
- Fica a dica: em prova, explique brevemente por que escolheu
na Dittus–Boelter (fluido sendo resfriado) — isso mostra entendimento e garante a correlação correta.