(UE-CE) O coeficiente de x^{9} no desenvolvimento de \left(x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{7} é:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{9} no desenvolvimento de \bigl(x^{3}+\tfrac{1}{x}\bigr)^{7}. O conteúdo aqui é o Teorema Binomial, que nos permite escrever a expansão em somatório de termos gerais usando combinações.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o termo geral da expansão é
T_{k} \;=\;\binom{7}{k}\,(x^{3})^{7-k}\,\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{k} \;=\;\binom{7}{k}\,x^{3(7-k)-k} \;=\;\binom{7}{k}\,x^{21-4k}.

Passo 3

Queremos que o expoente de x em T_{k} seja 9. Assim,
21-4k = 9 \quad\Longrightarrow\quad 4k = 12 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.

Passo 4

Substituindo k=3, o coeficiente associado é
\binom{7}{3} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} = 35.

Resposta

(c) 35

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