(Fatec-SP) Para que o termo médio do desenvolvimento do binômio (\operatorname{sen} x+\cos x)^{6}, segundo as potências [de expoentes] decrescentes de sen x, seja igual a \frac{5}{2}, o arco x deve ter sua extremidade pertencente ao: a) primeiro ou segundo quadrantes. b) primeiro ou terceiro quadrantes. c) segundo ou terceiro quadrantes. d) eixo das abscissas. e) eixo das ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o valor de x de modo que o termo médio do desenvolvimento de (\sin x + \cos x)^{6}, ordenado por potências decrescentes de \sin x, seja igual a \tfrac{5}{2}. Vamos usar o Teorema do Binômio para identificar esse termo e depois resolver uma equação trigonométrica.

Passo 2

Como o expoente é 6, há 7 termos no desenvolvimento e o termo médio é o quarto, correspondente a k=3 em
T_{k+1} = \binom{6}{k}(\sin x)^{6-k}(\cos x)^{k}.
Logo
T_{4} = \binom{6}{3}(\sin x)^{3}(\cos x)^{3} = 20\,(\sin x\,\cos x)^{3}.

Passo 3

Impondo T_{4}=\tfrac{5}{2} temos
20\,(\sin x\,\cos x)^{3} = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad (\sin x\,\cos x)^{3} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,\cos x = \frac{1}{2}.

Passo 4

Usamos a identidade
\sin x\,\cos x = \tfrac12\sin(2x),
então
\tfrac12\sin(2x)=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Os arcos x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi têm extremidade nos quadrantes em que \tfrac{\pi}{4} (primeiro quadrante) ou \tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{5\pi}{4} (terceiro quadrante).

Resposta

b) primeiro ou terceiro quadrantes.

Exercícios relacionados