(Mackenzie-SP) Se k=i^{1}+i^{2}+\ldots+i^{n}, i^{2}=-1 e se n é o número binomial \binom{9}{4}, então k igual a:
a) 1
b) -1
c) -1+i
d) i
e) 0

Passo 1

O enunciado define \displaystyle k = i^1 + i^2 + \cdots + i^n
com i^2 = -1 e n = \binom{9}{4}.
O conteúdo é o ciclo das potências de i, que se repetem a cada 4 termos, e vamos usar isso para somar eficientemente.

Passo 2

Calculamos \displaystyle n = \binom{9}{4} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 126.

Passo 3

As potências de i são periódicas de período 4, pois
i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1
e portanto
i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0.

Passo 4

Como 126 = 4\times31 + 2, a soma até i^{126} é igual a 31 ciclos completos (que somam zero) mais os dois primeiros termos do próximo ciclo:
k = \underbrace{0 + \cdots + 0}_{31\text{ ciclos}} + i^{125} + i^{126}.
Como 125\equiv1\pmod4 e 126\equiv2\pmod4, temos \,i^{125}=i e i^{126}=-1,
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k = i + (-1) = -1 + i.

Resposta

-1 + i (alternativa c) )

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