(FGV-SP) Sendo k um número real positivo, o terceiro termo do desenvolvimento de ( -2 x+ +k)^{12}, ordenado segundo expoentes decrescentes de x, é 66 x^{10}. Assim, é correto afirmar que k é igual a:
a) \frac{1}{66}
b) \frac{1}{64}
C) \frac{1}{58}
d) \frac{1}{33}
e) \frac{1}{32}

Passo 1

O enunciado pede o terceiro termo do desenvolvimento de ( -2x + k)^{12} (ordenado por potências decrescentes de x) e diz que esse termo é 66x^{10}. Vamos usar o Teorema de Binômio, que afirma que
(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{\,n-r} b^r.

Passo 2

No desenvolvimento de ( -2x + k)^{12}, o termo geral é
T_{r+1} = \binom{12}{r}(-2x)^{\,12-r}k^r.
Como queremos o termo que contenha x^{10}, impomos
12 - r = 10 \quad\Longrightarrow\quad r = 2.
Assim, o terceiro termo (com r=2) é
T_3 = \binom{12}{2}(-2x)^{10}k^2.

Passo 3

Calculamos os coeficientes numéricos:
\binom{12}{2} = 66 \quad\text{e}\quad (-2)^{10} = 1024.
Logo
T_3 = 66 \times 1024 \times k^2 \;x^{10} = (66\cdot1024\,k^2)\,x^{10}.

Passo 4

Como o enunciado diz que esse termo vale 66x^{10}, igualamos os coeficientes:
66\cdot1024\,k^2 = 66.
Dividindo por 66, obtemos
1024\,k^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = \frac{1}{1024}.
Como k>0, segue
k = \frac{1}{32}.

Resposta

e) \displaystyle \frac{1}{32}

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