O coeficiente de difusão para o íon crômio III ( \mathrm{Cr}^{+3} ) através do óxido de crômio ( \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{3} ), é 6.10^{-15} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} na temperatura de 727^{\circ} \mathrm{C} e 1.10^{-9} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} na temperatura de 1400^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule a energia de ativação molar
b) Calcule a constante \mathrm{D}_{\circ} Use \mathrm{R}=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado dá duas medidas do coeficiente de difusão do íon cromo III através de óxido de cromo e pede a energia de ativação molar e a constante pré-exponencial. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
D_1 = 6\cdot 10^{-15}\\ \mathrm{cm^2/s}\quad\text{à}\quad 727^\circ\mathrm{C}à
D_2 = 1\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{cm^2/s}\quad\text{à}\quad 1400^\circ\mathrm{C}à
Constante dos gases fornecida:
R = 1,987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}
Perguntas:
a) Calcular a energia de ativação molar Q (em \mathrm{cal/mol}, preferencialmente também em \mathrm{kJ/mol} ou \mathrm{kcal/mol}).
b) Calcular a constante pré-exponencial D_{\circ} (em \mathrm{cm^{2}/s}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — explicando passo a passo como aplicar na prova.
A dependência da difusividade com a temperatura costuma seguir a lei de Arrhenius:
D(T)=D_{\circ}\,\mathrm{e}^{-Q/(R\,T)}.
O que cada símbolo significa:
  • D(T) é o coeficiente de difusão na temperatura absoluta T (em Kelvin).
  • D_{\circ} é a constante pré-exponencial (ou fator pré-exponencial) — a difusividade hipotética quando o termo exponencial é 1.
  • Q é a energia de ativação molar (em \mathrm{cal/mol} se usarmos R em \mathrm{cal/(mol\cdot K)}).
  • R é a constante dos gases (aqui 1,987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}).
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin: para converter graus Celsius para Kelvin usamos \;T( K)=T( ^\circ\mathrm{C})+273{,}15.
Como temos dois pontos (D_1,T_1) e (D_2,T_2), dividimos as duas expressões de Arrhenius e tomamos logaritmo natural para eliminar D_{\circ}:
\frac{D_2}{D_1}=\exp\!\Big(-\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\Big).
Tomando ln:
\ln\!\Big(\frac{D_2}{D_1}\Big)=-\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big).
Reorganizando para Q (para evitar sinais confusos, uso a forma que tem diferença 1/T_1-1/T_2 positiva):
Q = R\;\frac{\ln(D_2/D_1)}{(1/T_1-1/T_2)}.
Depois de achar Q, voltamos à expressão de Arrhenius para obter D_{\circ}. Por exemplo:
D_{\circ}=D_2\;\exp\!\Big(\frac{Q}{R\,T_2}\Big).
Observação prática para a prova: sempre trabalhe com T em Kelvin. Tome cuidado com a ordem das temperaturas ao calcular a diferença 1/T_1-1/T_2 — ela deve ser positiva se T_2>T_1.

Passo 3

Convertemos as temperaturas para Kelvin (passo obrigatório):
T_1 = 727^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 1000{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 1400^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 1673{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculamos a razão dos coeficientes de difusão e seu logaritmo natural:
\frac{D_2}{D_1}=\frac{1\cdot 10^{-9}}{6\cdot 10^{-15}}=\frac{10^{-9}}{6\cdot 10^{-15}}=1{,}6666667\cdot 10^{5},
\ln\!\Big(\frac{D_2}{D_1}\Big)=\ln\big(1{,}6666667\cdot 10^{5}\big)\approx 12{,}023751089.
Calculamos a diferença 1/T_1-1/T_2. Uma forma prática é usar a fórmula (1/T_1-1/T_2)=(T_2-T_1)/(T_1T_2):
1/T_1-1/T_2=\frac{1673{,}15-1000{,}15}{1000{,}15\cdot 1673{,}15}=\frac{673{,}00}{1\,673\,400{,}9725}\approx 0{,}000402175\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 4

Agora calculamos Q usando a fórmula deduzida:
Q = R\;\frac{\ln(D_2/D_1)}{(1/T_1-1/T_2)}.
Substituindo números:
Q = 1{,}987\cdot\frac{12{,}023751089}{0{,}000402175}\\ \mathrm{cal/mol}.
Primeiro o numerador 1{,}987\times 12{,}023751089\approx 23{,}89119341. Dividindo:
Q \approx \frac{23{,}89119341}{0{,}000402175}\\ \mathrm{cal/mol}\approx 5{,}9396\cdot 10^{4}\\ \mathrm{cal/mol}.
É conveniente também expressar em unidades mais usuais:
Q \approx 5{,}94\times 10^{4}\\ \mathrm{cal/mol}=59{,}4\\ \mathrm{kcal/mol}.
Convertendo para \mathrm{kJ/mol} (1 cal = 4{,}184 J):
Q \approx 59{,}4\\ \mathrm{kcal/mol}\times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kcal}}\approx 248{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}\\ (\text{aprox. }248{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}).

Passo 5

Calculamos D_{\circ}. Usamos a expressão
D_{\circ}=D_2\;\exp\!\Big(\frac{Q}{R\,T_2}\Big).
Substituindo D_2=1\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{cm^2/s}, Q\approx 5{,}9396\cdot 10^{4}\\ \mathrm{cal/mol}, R=1{,}987 e T_2=1673{,}15\\ \mathrm{K}:
\frac{Q}{R\,T_2}\approx \frac{5{,}9396\cdot 10^{4}}{1{,}987\cdot 1673{,}15}\approx 17{,}86.
Então
D_{\circ}=1\cdot 10^{-9}\;\exp(17{,}86)\\ \mathrm{cm^2/s}.
Calculando a exponencial:
\exp(17{,}86)\approx 5{,}8\cdot 10^{7},
logo
D_{\circ}\approx 1\cdot 10^{-9}\times 5{,}8\cdot 10^{7}\\ \mathrm{cm^2/s}\approx 5{,}8\cdot 10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s}.
(Usei o D_2 para calcular D_{\circ}; se usar D_1 obtém-se o mesmo resultado dentro de pequenas diferenças de arredondamento — é uma boa verificação na prova.)

Resposta

a) Q \approx 5{,}94\times 10^{4}\\ \mathrm{cal/mol} (≈ 59{,}4\\ \mathrm{kcal/mol} 248{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}).
b) D_{\circ} \approx 5{,}8\times 10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.

Exercícios relacionados