Uma certa liga de ferro com concentração inicial de carbono de 0,02 \% deve ser carbonetada a 1200^{\circ} \mathrm{C} durante 4 h a fim de conseguir atingir uma concentração de 0,45 \% numa profundidade de 0,6 \mathrm{~mm}. Qual será a concentração da superfície para essa condição? \mathrm{D}_{\mathrm{o}}=0,23 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{R}=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}, \mathrm{Q}=32900 \mathrm{cal}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a concentração na superfície C_{s} necessária para, após carbonetação a 1200^\circ\mathrm{C} durante 4 h, a concentração de carbono ser 0,45\% a uma profundidade de 0,6\\ \mathrm{mm}, partindo de uma concentração inicial uniforme de 0,02\%. Dados fornecidos:
D_0 = 0,23\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},\quad R = 1,987\\ \mathrm{cal}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K},\quad Q = 32900\\ \mathrm{cal}/\mathrm{mol},
tempo t = 4\\ \mathrm{h} e profundidade x = 0,6\\ \mathrm{mm}. A incógnita é C_s (concentração de superfície).

Passo 2

Modelo físico e fórmula a usar (explicadinho): quando uma peça semi-infinita, inicialmente com concentração uniforme C_0, tem a superfície mantida numa concentração constante C_s durante o processo, a solução da equação de difusão para a concentração C(x,t) em função da profundidade x e do tempo t é
C(x,t) = C_0 + (C_s - C_0)\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
O que significa cada coisa:
  • C(x,t): concentração em profundidade x no tempo t.
  • C_0: concentração inicial no interior (aqui 0,02\%).
  • C_s: concentração na superfície (o que queremos).
  • D: coeficiente de difusão do carbono no ferro na temperatura de trabalho.
  • \operatorname{erfc} é a funcão complementar do erro: \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z). Para z pequeno, podemos aproximar \operatorname{erf} pela série \operatorname{erf}(z)\approx \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(z-\dfrac{z^3}{3}+\dfrac{z^5}{10}\right).
Também precisamos de D na temperatura dada; a dependência com a temperatura é dada pela lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right),
onde T é a temperatura absoluta em kelvin.

Passo 3

Convertemos unidades e calculamos D.
Temperatura: 1200^\circ\mathrm{C} = 1200 + 273 = 1473\\ \mathrm{K}, então T = 1473\\ \mathrm{K}.
Aplicando Arrhenius:
\frac{Q}{R\,T} = \frac{32900}{1,987\cdot 1473} \approx 11,2408.
Logo
D = 0,23\\ \exp(-11,2408)\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Calculando a exponencial (fazendo a conta passo a passo):
\exp(-11,2408) \approx 1,3127\times 10^{-5},
portanto
D \approx 0,23 \times 1,3127\times 10^{-5} \approx 3,0187\times 10^{-6}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Preparamos os outros dados em unidades coerentes e calculamos 2\sqrt{D t} que aparece no argumento da \operatorname{erfc}.
Tempo: t = 4\\ \mathrm{h} = 4\times 3600 = 14400\\ \mathrm{s}.
Profundidade: x = 0,6\\ \mathrm{mm} = 0,06\\ \mathrm{cm}.
Produto D t:
D t \approx 3,0187\times 10^{-6}\cdot 14400 \approx 0,043469\\ \mathrm{cm}^2.
Raiz:
\sqrt{D t} \approx \sqrt{0,043469} \approx 0,2086\\ \mathrm{cm}.
Então
2\sqrt{D t} \approx 0,4172\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calculamos o argumento da \operatorname{erfc}:
z=\frac{x}{2\sqrt{D t}} = \frac{0,06}{0,4172} \approx 0,1438.
Agora precisamos de \operatorname{erfc}(z). Primeiro aproximamos \operatorname{erf}(z) pela série (é um z pequeno, então a série converge rápido):
\operatorname{erf}(z)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Big(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}\Big).
Calculando termos:
z = 0,1438,\quad z^3 \approx 0,00297,\quad z^5 \approx 6,15\times 10^{-5}.
Substituindo:
\operatorname{erf}(0,1438)\approx 1,128379\,(0,1438-0,00099+0,00000615)\approx 0,16123.
Portanto
\operatorname{erfc}(0,1438)=1-\operatorname{erf}(0,1438)\approx 1-0,16123\approx 0,83877.

Passo 6

Voltamos à equação da difusão e isolamos C_s. A equação é
C(x,t)=C_0+(C_s-C_0)\operatorname{erfc}(z).
Isolando C_s:
C_s = C_0 + \frac{C(x,t)-C_0}{\operatorname{erfc}(z)}.
Substituímos os valores em porcentagem (tudo em %):
C_0 = 0,02\%,\quad C(x,t)=0,45\%,\quad \operatorname{erfc}(z)\approx 0,83877.
Logo
C_s \approx 0,02 + \frac{0,45-0,02}{0,83877} = 0,02 + \frac{0,43}{0,83877} \approx 0,02 + 0,5128 \approx 0,5328\%.

Passo 7

Interpretação final rápida: para que, depois de 4 h a 1200^\circ\mathrm{C}, a concentração a 0,6\\ \mathrm{mm} seja 0,45\%, a superfície precisa estar em torno de 0,533\%. Você pode arredondar para 0,53\% se quiser uma escrita com duas casas significativas.

Resposta

0,5328\%

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