Uma certa liga de ferro com concentração inicial de carbono de
deve ser carbonetada a
durante 4 h a fim de conseguir atingir uma concentração de
numa profundidade de
. Qual será a concentração da superfície para essa condição?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a concentração na superfície
necessária para, após carbonetação a
durante
h, a concentração de carbono ser
a uma profundidade de
, partindo de uma concentração inicial uniforme de
. Dados fornecidos:
tempo
e profundidade
. A incógnita é
(concentração de superfície).
Passo 2
Modelo físico e fórmula a usar (explicadinho): quando uma peça semi-infinita, inicialmente com concentração uniforme
, tem a superfície mantida numa concentração constante
durante o processo, a solução da equação de difusão para a concentração
em função da profundidade
e do tempo
é
O que significa cada coisa:
-
: concentração em profundidade no tempo . -
: concentração inicial no interior (aqui ). -
: concentração na superfície (o que queremos). -
: coeficiente de difusão do carbono no ferro na temperatura de trabalho. -
é a funcão complementar do erro: . Para pequeno, podemos aproximar pela série .
Também precisamos de
na temperatura dada; a dependência com a temperatura é dada pela lei de Arrhenius:
onde
é a temperatura absoluta em kelvin.
Passo 3
Convertemos unidades e calculamos
.
Temperatura:
, então
.
Aplicando Arrhenius:
Logo
Calculando a exponencial (fazendo a conta passo a passo):
portanto
Passo 4
Preparamos os outros dados em unidades coerentes e calculamos
que aparece no argumento da
.
Tempo:
.
Profundidade:
.
Produto
:
Raiz:
Então
Passo 5
Calculamos o argumento da
:
Agora precisamos de
. Primeiro aproximamos
pela série (é um
pequeno, então a série converge rápido):
Calculando termos:
Substituindo:
Portanto
Passo 6
Voltamos à equação da difusão e isolamos
. A equação é
Isolando
:
Substituímos os valores em porcentagem (tudo em %):
Logo
Passo 7
Interpretação final rápida: para que, depois de
h a
, a concentração a
seja
, a superfície precisa estar em torno de
. Você pode arredondar para
se quiser uma escrita com duas casas significativas.