Se uma lâmina de ferro a
necessita de um tratamento de 1 hora para que a
da superfície da sua face mais enriquecida possua a concentração de
de carbono, quanto tempo é necessário para que ocorra o mesmo fazendo o procedimento numa temperatura de
?
Passo 1
O enunciado pede: quanto tempo
é necessário, à temperatura de
, para que a uma profundidade de
na face enriquecida a concentração de carbono seja
, sabendo que a
esse mesmo resultado acontece em
hora. Dados fornecidos:
Informações numéricas do enunciado que vou usar (conversões):
Passo 2
Entendendo a física por trás (sem pular etapas): o caso típico de enriquecimento por difusão com superfície mantida em concentração constante tem solução de Fick que envolve a função erro (erf). A forma geral da solução para concentração
em semi-infinito com superfície em concentração
e concentração inicial
é
Aqui
é o coeficiente de difusão no metal,
a profundidade e
o tempo. O que interessa para nós é que, para uma mesma profundidade
e um mesmo valor relativo de concentração
(no enunciado queremos o mesmo
nessa profundidade), o argumento da função erro deve ser o mesmo nos dois processos. Logo
onde
é o coeficiente à
e
à
. Como
e o valor da função erro são iguais nos dois casos, isso simplifica para
Resumo didático: para a mesma profundidade e mesma fração de concentração, o tempo necessário é inversamente proporcional ao coeficiente de difusão. Então precisamos calcular
em cada temperatura.
Passo 3
Fórmula que liga
à temperatura: equação de Arrhenius
onde
é o fator pré-exponencial (aqui
),
é a energia de ativação (
),
a constante dos gases (
) e
a temperatura absoluta em kelvin. Vou calcular
e
.
Passo 4
Cálculo de
em
. Aplicando a fórmula:
Calculo do expoente:
Portanto
Agora a exponencial:
. Logo
Passo 5
Cálculo de
em
. Aplicando a fórmula:
Calculo do expoente:
Portanto
A exponencial:
. Logo
Passo 6
Agora uso a relação
. Substituindo os valores:
Então
Converto para horas:
Em horas e minutos:
. Ou seja aproximadamente
.