Se uma lâmina de ferro a 1200^{\circ} \mathrm{C} necessita de um tratamento de 1 hora para que a 0,1 \mathrm{~mm} da superfície da sua face mais enriquecida possua a concentração de 3 \% de carbono, quanto tempo é necessário para que ocorra o mesmo fazendo o procedimento numa temperatura de 950^{\circ} \mathrm{C} ? \mathrm{D}_{\mathrm{o}}=0,23 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{R}=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}, \mathrm{Q}=32900 \mathrm{cal}

Passo 1

O enunciado pede: quanto tempo t_2 é necessário, à temperatura de 950^\circ\mathrm{C}, para que a uma profundidade de 0{,}1\\ \mathrm{mm} na face enriquecida a concentração de carbono seja 3\%, sabendo que a 1200^\circ\mathrm{C} esse mesmo resultado acontece em 1 hora. Dados fornecidos:
D_0 = 0{,}23\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},\qquad R = 1{,}987\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}),\qquad Q = 32900\\ \mathrm{cal}.
Informações numéricas do enunciado que vou usar (conversões):
\text{profundidade } x = 0{,}1\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{cm},\qquad t_1 = 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s},
T_1 = 1200^\circ\mathrm{C} = 1473{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 950^\circ\mathrm{C} = 1223{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Entendendo a física por trás (sem pular etapas): o caso típico de enriquecimento por difusão com superfície mantida em concentração constante tem solução de Fick que envolve a função erro (erf). A forma geral da solução para concentração C(x,t) em semi-infinito com superfície em concentração C_s e concentração inicial C_0 é
\frac{C(x,t)-C_0}{C_s-C_0} = \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Aqui D é o coeficiente de difusão no metal, x a profundidade e t o tempo. O que interessa para nós é que, para uma mesma profundidade x e um mesmo valor relativo de concentração \dfrac{C(x,t)-C_0}{C_s-C_0} (no enunciado queremos o mesmo 3\% nessa profundidade), o argumento da função erro deve ser o mesmo nos dois processos. Logo
\frac{x}{2\sqrt{D_1\,t_1}}=\frac{x}{2\sqrt{D_2\,t_2}},
onde D_1 é o coeficiente à T_1 e D_2 à T_2. Como x e o valor da função erro são iguais nos dois casos, isso simplifica para
D_1\,t_1 = D_2\,t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = t_1\frac{D_1}{D_2}.
Resumo didático: para a mesma profundidade e mesma fração de concentração, o tempo necessário é inversamente proporcional ao coeficiente de difusão. Então precisamos calcular D em cada temperatura.

Passo 3

Fórmula que liga D à temperatura: equação de Arrhenius
D(T) = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right),
onde D_0 é o fator pré-exponencial (aqui 0{,}23\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}), Q é a energia de ativação ( \mathrm{cal/mol}), R a constante dos gases ( \mathrm{cal}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}) e T a temperatura absoluta em kelvin. Vou calcular D_1=D(T_1) e D_2=D(T_2).

Passo 4

Cálculo de D_1 em T_1=1473{,}15\\ \mathrm{K}. Aplicando a fórmula:
D_1 = 0{,}23\exp\!\left(-\frac{32900}{1{,}987\cdot 1473{,}15}\right).
Calculo do expoente:
1{,}987\cdot 1473{,}15 \approx 2927{,}149,
\frac{32900}{2927{,}149} \approx 11{,}24.
Portanto
D_1 \approx 0{,}23\exp(-11{,}24).
Agora a exponencial: \exp(-11{,}24)\approx 1{,}313\times 10^{-5}. Logo
D_1 \approx 0{,}23\times 1{,}313\times 10^{-5} \approx 3{,}02\times 10^{-6}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo de D_2 em T_2=1223{,}15\\ \mathrm{K}. Aplicando a fórmula:
D_2 = 0{,}23\exp\!\left(-\frac{32900}{1{,}987\cdot 1223{,}15}\right).
Calculo do expoente:
1{,}987\cdot 1223{,}15 \approx 2430{,}399,
\frac{32900}{2430{,}399} \approx 13{,}54.
Portanto
D_2 \approx 0{,}23\exp(-13{,}54).
A exponencial: \exp(-13{,}54)\approx 1{,}322\times 10^{-6}. Logo
D_2 \approx 0{,}23\times 1{,}322\times 10^{-6} \approx 3{,}04\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Agora uso a relação t_2 = t_1\frac{D_1}{D_2}. Substituindo os valores:
\frac{D_1}{D_2} \approx \frac{3{,}02\times 10^{-6}}{3{,}04\times 10^{-7}} \approx 9{,}93.
Então
t_2 = 3600\\ \mathrm{s}\times 9{,}93 \approx 35748\\ \mathrm{s}.
Converto para horas:
35748\\ \mathrm{s} = \frac{35748}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 9{,}93\\ \mathrm{h}.
Em horas e minutos: 0{,}93\\ \mathrm{h}\times 60\\ \mathrm{min/h}\approx 55{,}7\\ \mathrm{min}. Ou seja aproximadamente 9\\ \mathrm{h}\\\ 56\\ \mathrm{min}.

Resposta

t_2 \approx 9{,}93\\ \mathrm{h} \approx 9\\ \mathrm{h}\\\ 56\\ \mathrm{min}

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