De quantas maneiras 6 pessoas podem se sentar em um banco de 6 lugares em fila?
a) 720
b) 46.656
c) 120
d) 6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,6\, pessoas distintas.
  • Há um banco com \,6\, lugares alinhados em fila (os lugares são posições distintas: primeiro, segundo, terceiro, etc.).
    O que o problema pede:
  • Contar de quantas maneiras diferentes essas \,6\, pessoas podem se sentar nos \,6\, lugares da fila (ou seja, o número de arranjos possíveis).

Passo 2

Ideia básica (princípio multiplicativo):
  • Como os lugares são distintos, é suficiente decidir quem ocupa cada posição da fila, uma posição de cada vez.
  • Para a primeira posição (o primeiro assento) posso escolher qualquer uma das \,6\, pessoas.
  • Depois que escolhi quem vai no primeiro assento, para o segundo assento restam \,5\, pessoas disponíveis.
  • Continuando esse raciocínio, para o terceiro assento restam \,4\, opções, e assim por diante.
  • Portanto o número total de maneiras é o produto dessas opções sucessivas.

Passo 3

Aplicando o princípio multiplicativo ao caso concreto:
\text{número de arranjos} = 6\times5\times4\times3\times2\times1.ú

Passo 4

Explicando a notação fatorial:
  • O produto \,6\times5\times4\times3\times2\times1\, é o que se chama de fatorial de \,6 e escreve-se \,6!.
  • Em geral, para um inteiro positivo n, define-se \,n! = n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1.

Passo 5

Calculemos passo a passo sem calculadora (multiplicando de forma simples):
6\times5=30,
30\times4=120,
120\times3=360,
360\times2=720,
720\times1=720.
Logo \,6!=720.

Passo 6

Verificação contra as opções dadas: a) \,720\,; b) \,46{,}656\,; c) \,120\,; d) \,6\,. O valor que encontramos é \,720\,, que corresponde à alternativa a).

Resposta

a) 720

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