1. O coeficiente médio de dilatação térmica linear do aço é 1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Usando trilhos de aço de 8,0 metros de comprimento, um engenheiro construiu uma ferrovia deixando um espaço de 0,50 \mathrm{~cm} entre os trilhos, quando a temperatura era de 28^{\circ} \mathrm{C}. Num dia de sol forte os trilhos soltaram-se dos dormentes. Que temperatura no minimo, deve ter sido atingida pelos trilhos? \mathrm{R}: 80^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede uma única coisa:
  • Coeficiente médio de dilatação linear do aço: \alpha = 1{,}2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Comprimento inicial dos trilhos: L_0 = 8{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Espaço deixado entre os trilhos (à temperatura inicial): d = 0{,}50\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial: T_0 = 28^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual a temperatura mínima atingida pelos trilhos para que eles se soltem dos dormentes (isto é, para que a dilatação consuma o espaço de 0{,}50\\ \mathrm{cm})?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada termo).
  • Quando um corpo homogêneo se aquece, seu comprimento linear varia proporcionalmente à sua temperatura segundo a lei da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T.
Aqui:
  • \Delta L é a variação de comprimento (em metros),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial (em metros),
  • \Delta T é a variação de temperatura, \Delta T = T - T_0 (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Interpretação prática para o problema: o espaço d entre trilhos foi deixado para acomodar a dilatação. Se um trilho de comprimento L_0 crescer \Delta L = d, então os trilhos fecham o vão; portanto tomamos \Delta L = d (vou explicar a conversão de unidades no próximo passo).

Passo 3

Conversão de unidades e escolha da igualdade a usar.
  • O espaço dado é d = 0{,}50\\ \mathrm{cm}. Converter para metros:
d = 0{,}50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Assumimos que a variação necessária do comprimento de um trilho para fechar o vão é \Delta L = d = 0{,}005\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar \Delta T na fórmula da dilatação.
  • Partindo de
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
isolamos \Delta T:
\Delta T = \frac{\Delta L}{\alpha\,L_0}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular cuidadosamente.
  • Primeiro calcule \alpha\,L_0:
\alpha\,L_0 = \left(1{,}2\times 10^{-5}\right)\times 8{,}0 = 9{,}6\times 10^{-5}.
  • Agora calcule \Delta T:
\Delta T = \frac{0{,}005}{9{,}6\times 10^{-5}} = \frac{0{,}005}{0{,}000096} \approx 52{,}0833\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Deu aproximadamente 52{,}08^\circ\mathrm{C}.)

Passo 6

Determinar a temperatura final mínima e arredondar.
  • A temperatura final mínima é
T = T_0 + \Delta T = 28^\circ\mathrm{C} + 52{,}0833^\circ\mathrm{C} \approx 80{,}0833^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando para o grau mais próximo (como usual em problemas práticos), obtemos T \approx 80^\circ\mathrm{C}.

Resposta

80^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados