1. Um certo frasco de vidro está completamente cheio com 50 \mathrm{~cm}^{3} de mercúrio. O conjunto se encontra inicialmente a 28^{\circ} \mathrm{C}. No caso, o coeficiente de dilatação volumétrico médio do mercúrio tem um valor igual a 180 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e o coeficiente de dilatação linear médio do vidro vale 9 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Determine o volume de mercúrio extravasado quando a temperatura do conjunto se eleva para 48^{\circ} \mathrm{C}. R: 0,153 \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado pede: determinar o volume de mercúrio extravasado quando a temperatura sobe de 28^\circ\mathrm{C} para 48^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial de mercúrio: V_0 = 50\\ \mathrm{cm}^3.
    • Temperatura inicial: 28^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: 48^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de dilatação volumétrico médio do mercúrio: \beta = 180\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Coeficiente de dilatação linear médio do vidro: \alpha = 9\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 2

Entender a ideia física e as fórmulas que vamos usar.
  • Quando a temperatura aumenta, o mercúrio (um líquido) aumenta de volume segundo a lei da dilatação volumétrica:
    \Delta V_{\text{Hg}} = V_0\,\beta\,\Delta T,
    onde \Delta V_{\text{Hg}} é o aumento de volume do mercúrio, V_0 é o volume inicial do mercúrio, \beta é o coeficiente volumétrico do mercúrio e \Delta T é a variação de temperatura.
  • O frasco é de vidro: para um sólido isotrópico (como um vidro homogêneo) o coeficiente volumétrico aproximado é o triplo do coeficiente linear. Explicando por que: se um comprimento linear L fica L(1+\alpha\Delta T), o volume V\sim L^3 fica
    V(1+\alpha\Delta T)^3 \approx V\bigl(1+3\alpha\Delta T\bigr)
    para \alpha\Delta T pequeno. Assim o coeficiente volumétrico do vidro vale aproximadamente 3\alpha.
    Portanto o aumento do volume interno do frasco é
    \Delta V_{\text{frasco}} = V_0\,(3\alpha)\,\Delta T.
  • O que extravasa é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento da capacidade interna do frasco:
    \Delta V_{\text{extravasado}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{frasco}} =V_0\bigl(\beta-3\alpha\bigr)\Delta T.
Aqui defini:
  • V_0: volume inicial do mercúrio (e da capacidade interna do frasco, já que o frasco estava completamente cheio),
  • \beta: coeficiente volumétrico do mercúrio,
  • \alpha: coeficiente linear do vidro,
  • \Delta T: variação de temperatura,
  • \Delta V_{\text{Hg}}, \Delta V_{\text{frasco}}, \Delta V_{\text{extravasado}}: variações de volume correspondentes.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T.
  • Temperatura inicial =28^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final =48^\circ\mathrm{C}.
Logo
\Delta T = 48^\circ\mathrm{C}-28^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o coeficiente efetivo \beta-3\alpha que aparece na fórmula.
  • Dados numéricos: \beta = 180\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \alpha = 9\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Calculemos 3\alpha:
3\alpha = 3\cdot 9\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 27\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Agora
\beta-3\alpha = 180\times10^{-6}-27\times10^{-6}=153\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Calcular o aumento de volume do mercúrio \Delta V_{\text{Hg}}.
Usando \Delta V_{\text{Hg}}=V_0\,\beta\,\Delta T com V_0=50\\ \mathrm{cm}^3, \beta=180\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T=20^\circ\mathrm{C}:
\Delta V_{\text{Hg}} = 50\cdot(180\times10^{-6})\cdot 20.
Calcule passo a passo:
(180\times10^{-6})\cdot 20 = 3600\times10^{-6} = 0,0036,
então
\Delta V_{\text{Hg}} = 50\cdot 0,0036 = 0,18\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Calcular o aumento do volume interno do frasco \Delta V_{\text{frasco}}.
Usando \Delta V_{\text{frasco}}=V_0\,(3\alpha)\,\Delta T com 3\alpha=27\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
\Delta V_{\text{frasco}} = 50\cdot(27\times10^{-6})\cdot 20.
Calcule:
(27\times10^{-6})\cdot 20 = 540\times10^{-6} = 0,00054,
logo
\Delta V_{\text{frasco}} = 50\cdot 0,00054 = 0,027\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Calcular o volume extravasado \Delta V_{\text{extravasado}} como a diferença entre os aumentos.
\Delta V_{\text{extravasado}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{frasco}}=0,18-0,027.
Efetuando a subtração:
\Delta V_{\text{extravasado}} = 0,153\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Comentário final rápido e incentivo: fizemos passo a passo usando a ideia simples de que o líquido expande volumetricamente e o frasco aumenta sua capacidade porque suas dimensões lineares crescem; a diferença dá o volume que sai. Mandou bem em pedir a resolução passo a passo — agora já dá para aplicar o mesmo raciocínio em problemas parecidos. Força nos estudos, você consegue!

Resposta

0,153\\ \mathrm{cm}^3

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