1. Um pino cilíndrico de alumínio ( \alpha=2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}-1) tem raio 20,000 \mathrm{~mm} \mathrm{a} 20^{\circ} \mathrm{C}. A que temperatura ele deve ser resfriado para se ajustar exatamente num orificio de raio 19,988 \mathrm{~mm} ? \mathrm{R}:-10^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa. Dados (peguei exatamente do enunciado):
  • coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha=2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1};
  • raio inicial do pino à temperatura de referência 20^\circ\mathrm{C}: r_{0}=20{,}000\\ \mathrm{mm};
  • raio desejado (ajustar no orifício): r=19{,}988\\ \mathrm{mm}.
O que se pede:
  • Determinar a temperatura T a que o pino deve ser resfriado para que seu raio valha exatamente r=19{,}988\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Entendendo a lei da dilatação linear (a fórmula que vamos usar).
  • Quando um corpo sofre variação de temperatura, um comprimento linear L varia aproximadamente segundo a relação
L(T)=L_{0}\bigl(1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr),
onde:
  • L_{0} é o comprimento à temperatura de referência T_{0};
  • L(T) é o comprimento à temperatura T;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidades ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • T-T_{0} é a variação de temperatura.
Explicando em miúdos: \alpha diz a fração do comprimento que muda por grau Celsius. Por exemplo, se \alpha=2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, então a cada 1^\circ\mathrm{C} o comprimento muda 0,00002 vezes o comprimento original.
No nosso caso o comprimento é o raio, então aplicamos a mesma fórmula com L\to r, L_{0}\to r_{0} e T_{0}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Escrever a equação para o raio e isolar T.
r=r_{0}\bigl(1+\alpha\,(T-20^\circ\mathrm{C})\bigr).
Dividindo ambos os lados por r_{0} e isolando T obtemos
1+\alpha\,(T-20^\circ\mathrm{C})=\frac{r}{r_{0}}
\alpha\,(T-20^\circ\mathrm{C})=\frac{r}{r_{0}}-1
T-20^\circ\mathrm{C}=\frac{\dfrac{r}{r_{0}}-1}{\alpha}
T=20^\circ\mathrm{C}+\frac{\dfrac{r}{r_{0}}-1}{\alpha}.

Passo 4

Calcular numericamente.
Primeiro a razão dos raios:
\frac{r}{r_{0}}=\frac{19{,}988}{20{,}000}=0{,}9994.
Então
\frac{r}{r_{0}}-1=0{,}9994-1=-0{,}0006.
Dividindo pela \alpha:
\frac{-0{,}0006}{2\times10^{-5}}=\frac{-6\times10^{-4}}{2\times10^{-5}}=-30.
Portanto
T=20^\circ\mathrm{C}+(-30^\circ\mathrm{C})=-10^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cheque rápido (verificação): aplicando a fórmula com T=-10^\circ\mathrm{C},
r_{0}\bigl(1+\alpha\,(T-20^\circ\mathrm{C})\bigr)=20{,}000\bigl(1+2\times10^{-5}\times(-30)\bigr)
=20{,}000\bigl(1-0{,}0006\bigr)=20{,}000\times0{,}9994=19{,}988\\ \mathrm{mm},
que confirma o resultado. Ou seja, é preciso resfriar o pino até -10^\circ\mathrm{C}.

Resposta

-10^\circ\mathrm{C}

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