1. Duas barras, uma de cobre e a outra de latão, têm o mesmo comprimento a 10^{\circ} \mathrm{C} e, a 110^{\circ} \mathrm{C} os seus comprimentos diferem em 1 mm . Os coeficientes de dilatação linear para o cobre =16 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{e} para o latão = 20 \times 10^{-6} \mathrm{C}^{-1}. Determine o comprimento, a 10^{\circ} \mathrm{C}, de cada barra. R : 2,5 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • As duas barras (cobre e latão) têm o mesmo comprimento inicial a 10^{\circ}\mathrm{C}. Vou chamar esse comprimento inicial de L_0 (é o que precisamos determinar).
  • A 110^{\circ}\mathrm{C} os comprimentos das barras diferem em 1\\ \mathrm{mm}.
  • Coeficientes de dilatação linear:
    • cobre: \alpha_{\text{Cu}} = 16 \times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
    • latão: \alpha_{\text{latão}} = 20 \times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ã.
  • Variação de temperatura: \Delta T = 110^\circ\mathrm{C} - 10^\circ\mathrm{C} = 100^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: determinar o comprimento inicial L_0 (a 10^{\circ}\mathrm{C}) de cada barra.

Passo 2

Apresentando a fórmula de dilatação linear e explicando o significado das variáveis.
A fórmula que descreve o comprimento final L de um corpo que sofre dilatação linear quando a sua temperatura varia é:
L = L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui:
  • L_0 é o comprimento inicial (a temperatura de referência),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}),
  • L é o comprimento após a variação de temperatura.
Essa fórmula vem da definição de dilatação linear: o alongamento \Delta L = L - L_0 é aproximadamente proporcional a L_0, a \alpha e a \Delta T, ou seja \Delta L = L_0 \alpha \Delta T. Para coeficientes constantes essa relação é exata na forma usada acima.

Passo 3

Escrever as expressões para os comprimentos finais das duas barras a 110^{\circ}\mathrm{C}.
  • Comprimento final da barra de cobre:
L_{\text{Cu}} = L_0\bigl(1+\alpha_{\text{Cu}}\Delta T\bigr).
  • Comprimento final da barra de latão:
L_{\text{latão}} = L_0\bigl(1+\alpha_{\text{latão}}\Delta T\bigr).ãã
A diferença entre os comprimentos a 110^{\circ}\mathrm{C} é, portanto,
L_{\text{latão}} - L_{\text{Cu}} = L_0\bigl(\alpha_{\text{latão}} - \alpha_{\text{Cu}}\bigr)\Delta T.ãã
Segundo o enunciado essa diferença vale 1\\ \mathrm{mm}. Vou representar isso por \Delta L = 1\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Isolar L_0 na expressão da diferença e converter unidades quando necessário.
Da igualdade
L_0\bigl(\alpha_{\text{latão}} - \alpha_{\text{Cu}}\bigr)\Delta T = \Delta Lã
segue
L_0 = \dfrac{\Delta L}{\bigl(\alpha_{\text{latão}} - \alpha_{\text{Cu}}\bigr)\Delta T}.ã
Converter \Delta L para metros: \Delta L = 1\\ \mathrm{mm} = 0,001\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Calcular a diferença dos coeficientes:
\alpha_{\text{latão}} - \alpha_{\text{Cu}} = \bigl(20 - 16\bigr)\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 4\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.ã
Calcular o produto com \Delta T:
\bigl(\alpha_{\text{latão}} - \alpha_{\text{Cu}}\bigr)\Delta T = 4\times 10^{-6}\times 100 = 4\times 10^{-4}.ã
Agora calcular L_0:
L_0 = \dfrac{0,001}{4\times 10^{-4}} = \dfrac{1\times 10^{-3}}{4\times 10^{-4}} = 2,5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Alongamento da barra de cobre:
\Delta L_{\text{Cu}} = L_0 \alpha_{\text{Cu}} \Delta T = 2,5\times 16\times 10^{-6}\times 100 = 2,5\times 1{,}6\times 10^{-3} = 0,004\\ \mathrm{m} = 4\\ \mathrm{mm}.
  • Alongamento da barra de latão:
\Delta L_{\text{latão}} = 2,5\times 20\times 10^{-6}\times 100 = 2,5\times 2{,}0\times 10^{-3} = 0,005\\ \mathrm{m} = 5\\ \mathrm{mm}.ã
Diferença: 5\\ \mathrm{mm} - 4\\ \mathrm{mm} = 1\\ \mathrm{mm}, conforme o enunciado. Tudo confere.

Resposta

2,5\\ \mathrm{m}

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