O coeficiente de transferência de calor por convecção
Resultados experimentais para coeficiente local de transferência de calor, h x, em escoamento sobre uma placa plana com superficie extremamente áspera revelaram a seguinte correlação:
hx=a x^-0.1
onde a é uma constante e x é uma distância da borda da placa até a outra extremidade dela. Desenvolva uma expressão para a razão entre o coeficiente médio de transferência de calor he o coeficiente de transferência de calor local hx.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um exercício sobre coeficiente de transferência de calor por convecção. O enunciado nos dá uma relação para o coeficiente local de transferência de calor, $ h_x $, em função da distância $ x $ da borda da placa:
hx
Onde $ a $ é uma constante. A tarefa é desenvolver uma expressão para a razão entre o coeficiente médio de transferência de calor, $ h_e $, e o coeficiente local, $ h_x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente médio de transferência de calor, $ h_e $. Ele representa a média do coeficiente local ao longo de toda a placa. Matematicamente, podemos calcular $ h_e $ integrando $ h_x $ ao longo da distância total $ L $ da placa e dividindo pelo comprimento $ L $:
he

Passo 3

Substituindo a expressão de $ h_x $ na integral:
hx
Aqui, $ a $ é uma constante que podemos fatorar para fora da integral:
he = 1L integral0^L a x^-0.1 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral $ \int x^{-0.1} , dx $. A regra de integração para $ \int x^n , dx $ é:
integral x^-0.1 , dx
Aplicando essa regra com $ n = -0.1 $:
integral x^n , dx

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ L $:
0
Nota: $ 0^{0.9} = 0 $, então o segundo termo desaparece.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de $ h_e $:
he

Passo 7

Agora, queremos a razão $ \frac{h_e}{h_x} $. Sabemos que:
hehx
Então:
hx = a x^-0.1

Resposta

A razão entre o coeficiente médio de transferência de calor $ h_e $ e o coeficiente local $ h_x $ é:
he

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