O escoamento de água pelo bocal faz com que a velocidade das partículas ao longo da linha de corrente do centro seja V=(200 x^3+10 t^2) m / s, onde t está em segundos e x em metros. Determine a aceleração de uma partícula em x=0,1 m quando t=0,2 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve a velocidade da água no centro do bocal: $ V = 200x^3 + 10t^2 $ metros por segundo, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. A tarefa aqui é descobrir qual é a aceleração de uma partícula de água quando $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a ideia de derivadas parciais para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração de uma partícula em um fluxo de fluidos é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que a aceleração $ a $ pode ser calculada pela fórmula:
a
Aqui, $ \frac{\partial V}{\partial t} $ é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e $ \frac{\partial V}{\partial x} $ é a derivada parcial da velocidade em relação à posição.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo $ \frac{\partial V}{\partial t} $.
Dada a equação $ V = 200x^3 + 10t^2 $, derivando em relação a $ t $:
partial Vpartial t

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação à posição $ \frac{\partial V}{\partial x} $.
Novamente, com $ V = 200x^3 + 10t^2 $, derivando em relação a $ x $:
partial Vpartial x

Passo 5

Agora que temos ambas as derivadas parciais, vamos substituir os valores de $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial V}{\partial t} $:
x = 0,1
Em seguida, calculamos $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
t = 0,2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade $ V $ no ponto $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos usando a equação original:
V

Passo 7

Finalmente, vamos substituir todos os valores encontrados na equação da aceleração:
a = partial Vpartial t + V cdot partial Vpartial x = 4 + 0,6 times 6 = 4 + 3,6 = 7,6 , m/s^2

Resposta

A aceleração da partícula em $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos é de 7,6 m/s².

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