O escoamento de água pelo bocal faz com que a velocidade das partículas ao longo da linha de corrente do centro seja
, onde
está em segundos e
em metros. Determine a aceleração de uma partícula em
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve a velocidade da água no centro do bocal: $ V = 200x^3 + 10t^2 $ metros por segundo, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. A tarefa aqui é descobrir qual é a aceleração de uma partícula de água quando $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a ideia de derivadas parciais para encontrar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração de uma partícula em um fluxo de fluidos é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que a aceleração $ a $ pode ser calculada pela fórmula:
Aqui, $ \frac{\partial V}{\partial t} $ é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e $ \frac{\partial V}{\partial x} $ é a derivada parcial da velocidade em relação à posição.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo $ \frac{\partial V}{\partial t} $.
Dada a equação $ V = 200x^3 + 10t^2 $, derivando em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação à posição $ \frac{\partial V}{\partial x} $.
Novamente, com $ V = 200x^3 + 10t^2 $, derivando em relação a $ x $:
Passo 5
Agora que temos ambas as derivadas parciais, vamos substituir os valores de $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial V}{\partial t} $:
Em seguida, calculamos $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a velocidade $ V $ no ponto $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos usando a equação original:
Passo 7
Finalmente, vamos substituir todos os valores encontrados na equação da aceleração:
Resposta
A aceleração da partícula em $ x = 0,1 $ metros e $ t = 0,2 $ segundos é de 7,6 m/s².