Dois pratos paralelos de área infinita, distando
entre si, são mantidos a
e
, respectivamente. Se o espaço entre os dois pratos contiver hélio, cujo diâmetro de colisão molecular é de
Å, calcule o fluxo de calor que irá se estabelecer entre os mesmos.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Separação entre os pratos:
(vou converter para metros mais adiante). - Temperaturas dos pratos:
e . - Gás entre os pratos: hélio, com diâmetro de colisão molecular
. - O enunciado pede o fluxo de calor que se estabelece entre os pratos (fluxo por unidade de área, i.e. densidade de fluxo térmico
).\n
Observações/assunções que vou adotar (não peço nada a você, apenas escolho um caso físico padrão): vou assumir pressão ambiente (pressão atmosférica). Vou tratar o hélio como gás ideal monatomic em regime contínuo (Fourier), já que a separação é muito maior que o comprimento médio de livre percurso — essas hipóteses serão verificadas durante a resolução.
Passo 2
Estratégia e fórmula física básica. Para placas paralelas infinitas, em regime estacionário e unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área obedece à lei de Fourier:
onde
-
é o fluxo de calor por unidade de área ( ); -
é a condutividade térmica do gás ( ); -
é a diferença de temperatura entre as placas; -
é a distância entre elas.\n
Portanto precisamos estimarpara o hélio nas condições dadas. Vou usar a teoria cinética dos gases para obter . A expressão de primeira aproximação (para gás diluído, monatomic) é:
onde
-
é a densidade numérica (nº de partículas por volume, ); -
é o calor específico por partícula (à volume constante), para gás monoatômico (onde é a constante de Boltzmann); -
é a velocidade média térmica das partículas; -
é o comprimento médio de livre percurso.\n
Substituindoobtemos a forma simplificada usada adiante:
Vou explicar e calcular cada termo
passo a passo.
Passo 3
Converter dados e calcular temperaturas em Kelvin e
e
:
-
. -
. - Vou usar a temperatura média para propriedades cinéticas:
- Diferença de temperatura:
- Separação:
Agora calcular a densidade numérica
pelo gás ideal:
Usando
e
,
Passo 4
Calcular o comprimento médio de livre percurso
. Para esferas duras (aproximação usual) a fórmula é
onde
é o diâmetro de colisão. Converter
:
Substituindo em
:
Comentário físico rápido:
é muito menor que
, logo estamos bem no regime contínuo (Knudsen pequeno) e a lei de Fourier é aplicável.
Passo 5
Calcular a velocidade média térmica
. Uma expressão comum para a velocidade média (média aritmética das velocidades) é
onde
é a massa de uma partícula de hélio. A massa de um átomo de hélio (aprox. 4 u) é
Então
Passo 6
Calcular a condutividade
usando
Substituindo os valores numéricos já calculados:
Breve comentário: esse valor é a previsão da teoria cinética na aproximação simples; valores experimentais tabulados para hélio a
são maiores (por exemplo
), pois a teoria simplificada omite fatores de correção mais refinados (integrais de colisão, diferenças nas definições de velocidades médias etc.). Aqui vou prosseguir com a condutividade obtida pela derivação cinética porque o enunciado forneceu o diâmetro molecular — presumo que o objetivo seja aplicar a teoria cinética.
Passo 7
Calcular o fluxo de calor por unidade de área usando a lei de Fourier:
Substituindo
,
,
,
Passo 8
Interpretação final e comentário de estudo. O fluxo de calor calculado pela aproximação cinética simples é
. Lembre-se: se usássemos a condutividade experimental tabulada para o hélio à temperatura ambiente (
), obteríamos um
maior, da ordem de
. A diferença mostra que fórmulas cinéticas simplificadas podem subestimar
por fatores numéricos finos; ainda assim o procedimento passo-a-passo acima é o método correto para estimar
a partir de dados microscópicos (diâmetro, massa, pressão, temperatura). Força aí — você conseguiu chegar ao resultado aplicando passo a passo a teoria cinética!