5. (Coeficientes de Fourier)

Seja V=\mathbb{R}^{3} com o produto interno canônico. Dada a base ortogonal B=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,1,2)\}, encontre os coeficientes de Fourier do vetor v=(1,2,3) em relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os coeficientes de Fourier do vetor v=(1,2,3) em relação à base B=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,1,2)\} em V=\mathbb{R}^3 com o produto interno canônico.
Informações dadas:
  • v=(1,2,3).
  • b_1=(1,1,1), b_2=(1,1,0), b_3=(1,1,2) (esses são os vetores listados na base B).
  • O enunciado afirma que B é uma “base ortogonal” (texto do enunciado).
Pergunta explícita:
  • Calcular os coeficientes de Fourier de v em relação a B (isto é, encontrar escalares que expressem v como combinação linear de b_1,b_2,b_3 ou, se B fosse ortogonal, usar as projeções apropriadas).

Passo 2

O que significam “coeficientes de Fourier” aqui (explicação didática, passo a passo):
  • Se B for uma base de V, então qualquer v\in V pode ser escrito como
v=\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3,
e os coeficientes \alpha,\beta,\gamma são as coordenadas de v na base B. Para achar \alpha,\beta,\gamma resolve-se um sistema linear (o jeito mais geral e seguro).
  • Se, adicionalmente, B for uma base ortogonal (ou ortonormal), há uma fórmula bem simples:
\alpha=\frac{\langle v,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle},\qquad \beta=\frac{\langle v,b_2\rangle}{\langle b_2,b_2\rangle},\qquad \gamma=\frac{\langle v,b_3\rangle}{\langle b_3,b_3\rangle},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno canônico (produto escalar). Essa fórmula só é válida se os vetores b_i forem mutuamente ortogonais.
Como eu não devo assumir nada sem checar, primeiro vou verificar se os vetores dados são realmente ortogonais e se formam uma base.

Passo 3

Verificação de ortogonalidade (uso do produto interno canônico; explicando: \langle x,y\rangle é a soma dos produtos das componentes correspondentes):
Calcular \langle b_1,b_2\rangle, \langle b_1,b_3\rangle, \langle b_2,b_3\rangle.
\langle b_1,b_2\rangle = (1)(1)+(1)(1)+(1)(0)=1+1+0=2.
\langle b_1,b_3\rangle = (1)(1)+(1)(1)+(1)(2)=1+1+2=4.
\langle b_2,b_3\rangle = (1)(1)+(1)(1)+(0)(2)=1+1+0=2.
Como esses produtos internos são diferentes de zero ( 2,4,2), os vetores b_1,b_2,b_3 NÃO são mutuamente ortogonais. Portanto a fórmula de projeção direta (fácil) para coeficientes de uma base ortogonal NÃO se aplica.

Passo 4

Verificação se os vetores formam uma base (ou seja, se são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3). Uma forma simples de ver linear dependência: procurar relações lineares ou observar igualdade entre linhas/colunas.
Observação direta:
  • Note que as duas primeiras componentes de cada b_i são iguais entre si: para b_1,b_2,b_3 as componentes 1 e 2 são as mesmas (todos têm primeira componente 1 e segunda componente 1). Isso implica que qualquer combinação linear \alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3 terá primeira componente igual à segunda componente (pois ambas são \alpha+\beta+\gamma).
  • Mais explicitamente, veja que
2b_1 - b_2 = 2(1,1,1) - (1,1,0) = (1,1,2) = b_3,
ou seja,
b_3 = 2b_1 - b_2.
Isso mostra que b_1,b_2,b_3 são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial que dá zero: 2b_1 - b_2 - b_3 = 0). Logo eles NÃO formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 5

Consequência prática: não é possível representar todo v\in\mathbb{R}^3 como combinação linear de b_1,b_2,b_3. Em particular, vou tentar escrever v como combinação e mostrar a impossibilidade (mostrando a contradição que aparece).
Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3 = v.
Escrevendo coordenada a coordenada (cada expressão dentro de \mathbb{R}):
  • Componente 1: \alpha+\beta+\gamma = 1.
  • Componente 2: \alpha+\beta+\gamma = 2.
  • Componente 3: \alpha+0\beta+2\gamma = 3.
Das primeiras duas equações obtemos imediatamente a contradição
\alpha+\beta+\gamma = 1 \quad\text{e}\quad \alpha+\beta+\gamma = 2,
o que é impossível. Portanto NÃO EXISTEM escalares \alpha,\beta,\gamma que satisfaçam as três equações simultaneamente. Em outras palavras, v não pertence ao subespaço gerado por b_1,b_2,b_3.

Passo 6

Conclusão didática e sugestão prática (um empurrão amigo):
  • O enunciado afirma que B é uma “base ortogonal”, mas os vetores fornecidos não são ortogonais e, além disso, são linearmente dependentes, logo não formam uma base de \mathbb{R}^3. Por isso não faz sentido procurar coeficientes de Fourier de v "em relação à base B" — esses coeficientes simplesmente não existem (não há representação de v como combinação linear de b_1,b_2,b_3).
  • Se a intenção for diferente (por exemplo, usar uma base ortogonal/ortonormal correta), procedimentos possíveis seriam:
    • corrigir os vetores da base B para que sejam realmente uma base ortogonal/ortonormal, ou
    • aplicar o processo de Gram–Schmidt em \{b_1,b_2,b_3\} para obter uma base ortogonal da subvariedade gerada por eles (note que como são dependentes, o resultado terá apenas dimensão 2), e então projetar v sobre esse subespaço (obter a projeção ortogonal de v no span \{b_i\}).
  • Se quiser, eu posso:
    • (A) aplicar Gram–Schmidt aos vetores dados e calcular a projeção de v sobre o subespaço gerado por eles (isto dá os coeficientes de projeção, mas não a representação exata de v porque v\notin\text{span}(B));
    • ou (B) recalcular os coeficientes caso você confirme os vetores corretos de uma base ortogonal/ortonormal diferente.
Força aí — dá pra consertar rápido se esse foi só um erro de escrita no enunciado.

Resposta

Os vetores de B não são ortogonais e são linearmente dependentes (pois b_3=2b_1-b_2), logo B não é uma base de \mathbb{R}^3 e não existem coeficientes de Fourier de v=(1,2,3) em relação a B (não há \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3=v).

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