5. (Coeficientes de Fourier)
Seja
com o produto interno canônico. Dada a base ortogonal
, encontre os coeficientes de Fourier do vetor
em relação à base
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os coeficientes de Fourier do vetor
em relação à base
em
com o produto interno canônico.
Informações dadas:
-
. -
, , (esses são os vetores listados na base ). - O enunciado afirma que
é uma “base ortogonal” (texto do enunciado).
Pergunta explícita:
- Calcular os coeficientes de Fourier de
em relação a (isto é, encontrar escalares que expressem como combinação linear de ou, se fosse ortogonal, usar as projeções apropriadas).
Passo 2
O que significam “coeficientes de Fourier” aqui (explicação didática, passo a passo):
- Se
for uma base de , então qualquer pode ser escrito como
e os coeficientes
são as coordenadas de
na base
. Para achar
resolve-se um sistema linear (o jeito mais geral e seguro).
- Se, adicionalmente,
for uma base ortogonal (ou ortonormal), há uma fórmula bem simples:
onde
é o produto interno canônico (produto escalar). Essa fórmula só é válida se os vetores
forem mutuamente ortogonais.
Como eu não devo assumir nada sem checar, primeiro vou verificar se os vetores dados são realmente ortogonais e se formam uma base.
Passo 3
Verificação de ortogonalidade (uso do produto interno canônico; explicando:
é a soma dos produtos das componentes correspondentes):
Calcular ,
,
.
Calcular
Como esses produtos internos são diferentes de zero (
), os vetores
NÃO são mutuamente ortogonais. Portanto a fórmula de projeção direta (fácil) para coeficientes de uma base ortogonal NÃO se aplica.
Passo 4
Verificação se os vetores formam uma base (ou seja, se são linearmente independentes e geram
). Uma forma simples de ver linear dependência: procurar relações lineares ou observar igualdade entre linhas/colunas.
Observação direta:
- Note que as duas primeiras componentes de cada
são iguais entre si: para as componentes 1 e 2 são as mesmas (todos têm primeira componente e segunda componente ). Isso implica que qualquer combinação linear terá primeira componente igual à segunda componente (pois ambas são ). - Mais explicitamente, veja que
ou seja,
Isso mostra que
são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial que dá zero:
). Logo eles NÃO formam uma base de
.
Passo 5
Consequência prática: não é possível representar todo
como combinação linear de
. Em particular, vou tentar escrever
como combinação e mostrar a impossibilidade (mostrando a contradição que aparece).
Procuramos
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada (cada expressão dentro de
):
- Componente 1:
. - Componente 2:
. - Componente 3:
.
Das primeiras duas equações obtemos imediatamente a contradição
o que é impossível. Portanto NÃO EXISTEM escalares
que satisfaçam as três equações simultaneamente. Em outras palavras,
não pertence ao subespaço gerado por
.
Passo 6
Conclusão didática e sugestão prática (um empurrão amigo):
- O enunciado afirma que
é uma “base ortogonal”, mas os vetores fornecidos não são ortogonais e, além disso, são linearmente dependentes, logo não formam uma base de . Por isso não faz sentido procurar coeficientes de Fourier de "em relação à base " — esses coeficientes simplesmente não existem (não há representação de como combinação linear de ). - Se a intenção for diferente (por exemplo, usar uma base ortogonal/ortonormal correta), procedimentos possíveis seriam:
- corrigir os vetores da base
para que sejam realmente uma base ortogonal/ortonormal, ou - aplicar o processo de Gram–Schmidt em
para obter uma base ortogonal da subvariedade gerada por eles (note que como são dependentes, o resultado terá apenas dimensão 2), e então projetar sobre esse subespaço (obter a projeção ortogonal de no span ).
- corrigir os vetores da base
- Se quiser, eu posso:
- (A) aplicar Gram–Schmidt aos vetores dados e calcular a projeção de
sobre o subespaço gerado por eles (isto dá os coeficientes de projeção, mas não a representação exata de porque ); - ou (B) recalcular os coeficientes caso você confirme os vetores corretos de uma base ortogonal/ortonormal diferente.
- (A) aplicar Gram–Schmidt aos vetores dados e calcular a projeção de
Força aí — dá pra consertar rápido se esse foi só um erro de escrita no enunciado.
Resposta
Os vetores de
não são ortogonais e são linearmente dependentes (pois
), logo
não é uma base de
e não existem coeficientes de Fourier de
em relação a
(não há
tais que
).