7. (Questão Extra - Produto Interno)

Considere V=M_{2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}). Definimos o traço da matriz A, denotado por \operatorname{tr}(A), como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A (Neste caso, \operatorname{tr}(A)=a+d ).
Defina \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right).
Com base nisso:
(a) Mostre que <A, B>=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right) define um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] duas matrizes quadradas de ordem 2. Calcule <A, B>,\|A\| \mathrm{e}\|B\|.
(c) Calcule d(A, B).
(d) Calcule o cosseno do ângulo entre as matrizes A e B, definidas no ítem (B).

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) e define, para A,B\in M_{2}(\mathbb{R}), o produto escalar
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).
As perguntas são:
(a) Mostrar que \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right) define um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Para as matrizes (peguei essas matrizes do enunciado)
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
calcular \langle A,B\rangle, \|A\| e \|B\|.
(c) Calcular d(A,B) (a distância induzida pela norma).
(d) Calcular o cosseno do ângulo entre A e B (definido em termos do produto interno).]

Passo 2

O que significa “definir um produto interno”? Em espaços reais precisamos checar três propriedades principais para todo A,B,C\in M_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento, aqui mostraremos linearidade nas duas entradas por simplicidade).
  2. Simetria: \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
  3. Positividade definida: \langle A,A\rangle\ge 0 e \langle A,A\rangle=0 só se A for a matriz nula.
Vou verificar cada propriedade passo a passo para \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).

Passo 3

Linearidade (bilinearidade):
  • Linearidade em A. Queremos mostrar que para \alpha\in\mathbb{R} e A_1,A_2,B\in M_{2}(\mathbb{R}) vale
\langle \alpha A_1 + A_2,\, B\rangle = \alpha\langle A_1,B\rangle + \langle A_2,B\rangle.
Usando a definição e propriedades da transposição e traço (traço é linear):
\langle \alpha A_1 + A_2,\, B\rangle = \operatorname{tr}\!\big(B^{t}(\alpha A_1 + A_2)\big) = \operatorname{tr}\!\big(\alpha B^{t}A_1 + B^{t}A_2\big).
Como o traço é linear,
\operatorname{tr}\!\big(\alpha B^{t}A_1 + B^{t}A_2\big) = \alpha\operatorname{tr}\!\big(B^{t}A_1\big) + \operatorname{tr}\!\big(B^{t}A_2\big) = \alpha\langle A_1,B\rangle + \langle A_2,B\rangle.
Logo é linear em A.
  • Linearidade em B. Para B_1,B_2 e \beta\in\mathbb{R}:
\langle A,\, \beta B_1 + B_2\rangle = \operatorname{tr}\!\big((\beta B_1 + B_2)^{t}A\big) = \operatorname{tr}\!\big(\beta B_1^{t}A + B_2^{t}A\big) = \beta\langle A,B_1\rangle + \langle A,B_2\rangle,
usando novamente linearidade do traço. Assim é bilinear.

Passo 4

Simetria:
Queremos \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle. Começamos por escrever ambas:
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\big(B^{t}A\big),\qquad \langle B,A\rangle=\operatorname{tr}\!\big(A^{t}B\big).
Usamos a propriedade fundamental do traço: para quaisquer matrizes compatíveis X,Y vale \operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX). Aplicando com X=B^{t} e Y=A obtemos
\operatorname{tr}\!\big(B^{t}A\big)=\operatorname{tr}\!\big(A B^{t}\big).
Mas \operatorname{tr}\!\big(A B^{t}\big) é a mesma coisa que \operatorname{tr}\!\big((A B^{t})^{t}\big) porque a transposição não muda o valor do traço; e (A B^{t})^{t}=B A^{t}. Tomando traço de BA^{t} e usando a comutatividade cíclica do traço novamente chegamos a \operatorname{tr}(A^{t}B). Em termos práticos, para matrizes reais esta cadeia mostra que \operatorname{tr}(B^{t}A)=\operatorname{tr}(A^{t}B), logo
\langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
(Em particular, para matrizes reais \langle A,B\rangle é simétrica.)

Passo 5

Positividade definida:
Calculemos \langle A,A\rangle. Para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} temos
\langle A,A\rangle=\operatorname{tr}\!\big(A^{t}A\big).
Vamos desenvolver A^{t}A. Primeiro
A^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix},
então
A^{t}A =\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a^{2}+c^{2} & ab+cd\\[4pt] ab+cd & b^{2}+d^{2} \end{pmatrix}.
A traço dessa matriz é
\operatorname{tr}\!\big(A^{t}A\big)=(a^{2}+c^{2})+(b^{2}+d^{2})=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}.
Isso é a soma dos quadrados de todas as entradas de A, portanto é sempre \ge 0. Além disso \operatorname{tr}\!(A^{t}A)=0 só se a=b=c=d=0, ou seja, só se A for a matriz nula. Portanto a positividade definida está satisfeita.]

Passo 6

Conclusão do item (a):
As três propriedades (bilinearidade, simetria e positividade definida) foram verificadas, logo
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right)
é um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 7

Definições úteis para os itens seguintes (lembrete):
  • A norma induzida por esse produto interno é
\|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}=\sqrt{\operatorname{tr}\!\big(A^{t}A\big)}.
  • A distância induzida é
d(A,B)=\|A-B\|.
  • O cosseno do ângulo entre A e B é
\cos\theta=\frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\,\|B\|},
desde que \|A\|\|B\|\neq 0.

Passo 8

Cálculo de \langle A,B\rangle para as matrizes dadas:
As matrizes são
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Primeiro calculemos B^{t}. Aqui B é diagonal com entradas (1,0), então B^{t}=B. Multiplicando:
B^{t}A = B A =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 1\\[4pt] 0\cdot 1 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Agora a traço:
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\big(B^{t}A\big)=1+0=1.]

Passo 9

Cálculo de \|A\| e \|B\|:
  • Para \|A\|:
\|A\|^{2}=\langle A,A\rangle=\operatorname{tr}\!\big(A^{t}A\big).
Já derivamos que \operatorname{tr}\!(A^{t}A) é a soma dos quadrados das entradas de A. As entradas de A são 1,1,0,1, então
\|A\|^{2}=1^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}=3.
Portanto
\|A\|=\sqrt{3}.
  • Para \|B\|:
    As entradas de B são 1,0,0,0, então
\|B\|^{2}=1^{2}+0+0+0=1,
logo
\|B\|=1.

Passo 10

Cálculo de d(A,B):
d(A,B)=\|A-B\|.
Calculemos A-B:
A-B=\begin{pmatrix}1-1 & 1-0\\[4pt]0-0 & 1-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
A soma dos quadrados das entradas é 0^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}=2. Assim
d(A,B)=\|A-B\|=\sqrt{2}.]

Passo 11

Cálculo do cosseno do ângulo entre A e B:
Usando a fórmula
\cos\theta=\frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\,\|B\|},
substituímos os valores já obtidos \langle A,B\rangle=1, \|A\|=\sqrt{3}, \|B\|=1:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

(a) \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right) é um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).
(b) \langle A,B\rangle=1
\|A\|=\sqrt{3}
\|B\|=1
(c) d(A,B)=\sqrt{2}
(d) \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

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