Considere V=M_{2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}). Definimos o traço da matriz A, denotado por \operatorname{tr}(A), como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A (Neste caso, \operatorname{tr}(A)=a+d ).
Defina \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right).
Com base nisso:
(a) Mostre que <A, B>=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right) define um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] duas matrizes quadradas de ordem 2. Calcule <A, B>,\|A\| \mathrm{e}\|B\|.
(c) Calcule d(A, B).
(d) Calcule o cosseno do ângulo entre as matrizes A e B, definidas no ítem (B).
Passo 1
O enunciado fornece o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) e define, para A,B\in M_{2}(\mathbb{R}), o produto escalar
As perguntas são:
(a) Mostrar que \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right) define um produto interno em M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Para as matrizes (peguei essas matrizes do enunciado)
calcular \langle A,B\rangle, \|A\| e \|B\|.
(c) Calcular d(A,B) (a distância induzida pela norma).
(d) Calcular o cosseno do ângulo entre A e B (definido em termos do produto interno).]
Passo 2
O que significa “definir um produto interno”? Em espaços reais precisamos checar três propriedades principais para todo A,B,C\in M_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
Bilinearidade (linearidade em cada argumento, aqui mostraremos linearidade nas duas entradas por simplicidade).
Simetria: \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
Positividade definida: \langle A,A\rangle\ge 0 e \langle A,A\rangle=0 só se A for a matriz nula.
Vou verificar cada propriedade passo a passo para \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).
Passo 3
Linearidade (bilinearidade):
Linearidade em A. Queremos mostrar que para \alpha\in\mathbb{R} e A_1,A_2,B\in M_{2}(\mathbb{R}) vale
Usamos a propriedade fundamental do traço: para quaisquer matrizes compatíveis X,Y vale \operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX). Aplicando com X=B^{t} e Y=A obtemos
Mas \operatorname{tr}\!\big(A B^{t}\big) é a mesma coisa que \operatorname{tr}\!\big((A B^{t})^{t}\big) porque a transposição não muda o valor do traço; e (A B^{t})^{t}=B A^{t}. Tomando traço de BA^{t} e usando a comutatividade cíclica do traço novamente chegamos a \operatorname{tr}(A^{t}B). Em termos práticos, para matrizes reais esta cadeia mostra que \operatorname{tr}(B^{t}A)=\operatorname{tr}(A^{t}B), logo
\langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
(Em particular, para matrizes reais \langle A,B\rangle é simétrica.)
Passo 5
Positividade definida:
Calculemos \langle A,A\rangle. Para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} temos
Isso é a soma dos quadrados de todas as entradas de A, portanto é sempre \ge 0. Além disso \operatorname{tr}\!(A^{t}A)=0 só se a=b=c=d=0, ou seja, só se A for a matriz nula. Portanto a positividade definida está satisfeita.]
Passo 6
Conclusão do item (a):
As três propriedades (bilinearidade, simetria e positividade definida) foram verificadas, logo