Considere U=\mathbb{R}^{2} munido de um uma função <., .>: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, dado por
<u, v>=x a+2 y b
onde u=(x, y) e v=(a, b). Demonstre que essa função define um produto interno sobre o espaço euclidiano \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço U=\mathbb{R}^{2} e define uma aplicação
\langle u,v\rangle = x a + 2 y b
onde u=(x,y) e v=(a,b). O que se pede: demonstrar que essa aplicação é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula explícita do produto: \langle (x,y),(a,b)\rangle = x a + 2 y b.
  • Os vetores u,v são vetores reais em \mathbb{R}^{2}.
  • Precisa-se verificar as propriedades que definem um produto interno (simetria, linearidade bilinear e positividade definida).

Passo 2

Lembrando (breve aula rápida): em \mathbb{R}^{2} uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno se satisfaz três propriedades principais:
  • Simetria: \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle para todos u,v.
  • Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento): para todos u,u',v e escalares \alpha, vale \langle u+u',v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u',v\rangle, \qquad \langle \alpha u,v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle,e análogas em relação ao segundo argumento.
  • Positividade definida: \langle u,u\rangle \ge 0 para todo u, e \langle u,u\rangle = 0 implica u=0.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a fórmula dada.

Passo 3

Verificação da simetria.
Se u=(x,y) e v=(a,b), então por definição
\langle u,v\rangle = x a + 2 y b.
Troque u por v e v por u:
\langle v,u\rangle = a x + 2 b y.
Como a multiplicação real é comutativa, a x = x a e 2 b y = 2 y b. Logo
\langle v,u\rangle = x a + 2 y b = \langle u,v\rangle.
Portanto a simetria está verificada.

Passo 4

Verificação da linearidade no primeiro argumento (aditividade).
Sejam u=(x,y), u'=(x',y') e v=(a,b). Então
\langle u+u',v\rangle = \langle (x+x',\,y+y'),(a,b)\rangle = (x+x')a + 2(y+y')b.
Expandindo:
(x+x')a + 2(y+y')b = xa + x'a + 2yb + 2y'b.
Reagrupando:
xa + 2yb + x'a + 2y'b = \langle u,v\rangle + \langle u',v\rangle.
Assim a aditividade em relação ao primeiro argumento vale.

Passo 5

Verificação da homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y), v=(a,b). Então
\langle \alpha u, v\rangle = \langle (\alpha x,\,\alpha y),(a,b)\rangle = (\alpha x)a + 2(\alpha y)b.
Fatorando \alpha:
(\alpha x)a + 2(\alpha y)b = \alpha(xa + 2yb) = \alpha \langle u,v\rangle.
Logo a homogeneidade em relação ao primeiro argumento também vale.

Passo 6

Linearidade no segundo argumento.
Podemos verificar diretamente ou deduzir da simetria + linearidade no primeiro argumento. Verificação direta: para u=(x,y), v=(a,b), v'=(a',b') e \beta\in\mathbb{R},
\langle u, v+v'\rangle = x(a+a') + 2y(b+b') = xa + xa' + 2yb + 2yb' = \langle u,v\rangle + \langle u,v'\rangle,
e
\langle u, \beta v\rangle = x(\beta a) + 2y(\beta b) = \beta(xa + 2yb) = \beta\langle u,v\rangle.
Portanto é linear também no segundo argumento. Assim a forma é bilinear.

Passo 7

Verificação da positividade definida.
Calcule o produto de um vetor por si mesmo. Para u=(x,y) temos
\langle u,u\rangle = x\cdot x + 2 y\cdot y = x^{2} + 2 y^{2}.
Agora observe que x^{2}\ge 0 e 2y^{2}\ge 0 para todo x,y\in\mathbb{R}, então
\langle u,u\rangle = x^{2} + 2 y^{2} \ge 0.
Além disso, se \langle u,u\rangle = 0 então x^{2} + 2 y^{2} = 0. Como soma de termos não-negativos só é zero se cada termo for zero, segue x^{2}=0 e y^{2}=0, isto é x=0 e y=0. Portanto u=(0,0). Isso prova a positividade definida.

Passo 8

Comentário adicional (intuição matricial, aula curta): a forma dada pode ser escrita em notação matricial como
\langle u,v\rangle = u^{T} A v,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
A matriz A é simétrica e definida positiva (autovalores 1 e 2, ambos positivos), o que garante que u^{T}Av seja um produto interno. Isso é outra maneira de ver o mesmo resultado de forma compacta.]

Passo 9

Conclusão: a aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida; portanto é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim: a função \langle u,v\rangle = x a + 2 y b define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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