Considere
munido de um uma função
, dado por
onde
e
. Demonstre que essa função define um produto interno sobre o espaço euclidiano
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
e define uma aplicação
onde
e
. O que se pede: demonstrar que essa aplicação é um produto interno em
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fórmula explícita do produto:
. - Os vetores
são vetores reais em . - Precisa-se verificar as propriedades que definem um produto interno (simetria, linearidade bilinear e positividade definida).
Passo 2
Lembrando (breve aula rápida): em
uma aplicação
é um produto interno se satisfaz três propriedades principais:
- Simetria:
para todos . - Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento): para todos
e escalares , vale e análogas em relação ao segundo argumento. - Positividade definida:
para todo , e implica .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a fórmula dada.
Passo 3
Verificação da simetria.
Se
e
, então por definição
Troque
por
e
por
:
Como a multiplicação real é comutativa,
e
. Logo
Portanto a simetria está verificada.
Passo 4
Verificação da linearidade no primeiro argumento (aditividade).
Sejam
,
e
. Então
Expandindo:
Reagrupando:
Assim a aditividade em relação ao primeiro argumento vale.
Passo 5
Verificação da homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento.
Seja
e
,
. Então
Fatorando
:
Logo a homogeneidade em relação ao primeiro argumento também vale.
Passo 6
Linearidade no segundo argumento.
Podemos verificar diretamente ou deduzir da simetria + linearidade no primeiro argumento. Verificação direta: para
,
,
e
,
e
Portanto é linear também no segundo argumento. Assim a forma é bilinear.
Passo 7
Verificação da positividade definida.
Calcule o produto de um vetor por si mesmo. Para
temos
Agora observe que
e
para todo
, então
Além disso, se
então
. Como soma de termos não-negativos só é zero se cada termo for zero, segue
e
, isto é
e
. Portanto
. Isso prova a positividade definida.
Passo 8
Comentário adicional (intuição matricial, aula curta): a forma dada pode ser escrita em notação matricial como
onde
A matriz
é simétrica e definida positiva (autovalores
e
, ambos positivos), o que garante que
seja um produto interno. Isso é outra maneira de ver o mesmo resultado de forma compacta.]
Passo 9
Conclusão: a aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida; portanto é um produto interno em
.
Resposta
Sim: a função
define um produto interno em
.