Um colar de bronze de comprimento 60 mm é montado em uma barra de alumínio de comprimento 100 mm . Determine o centro de gravidade do corpo composto. (Peso específico do latão 55.080 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}, alumínio 18.180 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}.)

Passo 1

Temos um corpo composto por dois cilindros coaxiais:
– Cilindro de alumínio (base), diâmetro 75 mm e altura 100 mm, peso específico \gamma_{Al}=18180, \mathrm{N/m^3}.
– Cilindro de bronze (colar), diâmetro 40 mm e altura 60 mm, peso específico \gamma_{Br}=55080, \mathrm{N/m^3}.
Vamos converter as dimensões para metros, calcular volume e peso de cada parte e em seguida usar a média ponderada das alturas dos centróides para encontrar o centro de gravidade total.

Passo 2

Converter para metros e achar os volumes:
– Raio do alumínio: r_{Al}=\tfrac{75\,\mathrm{mm}}{2}=37{,}5\,\mathrm{mm}=0{,}0375\,\mathrm{m}.
– Altura do alumínio: h_{Al}=100\,\mathrm{mm}=0{,}10\,\mathrm{m}.
V_{Al}=\pi\,r_{Al}^{2}\,h_{Al} =\pi\,(0{,}0375)^{2}(0{,}10) \approx0{,}00044178\\ \mathrm{m^3}.
– Raio do bronze: r_{Br}=\tfrac{40\,\mathrm{mm}}{2}=20\,\mathrm{mm}=0{,}02\,\mathrm{m}.
– Altura do bronze: h_{Br}=60\,\mathrm{mm}=0{,}06\,\mathrm{m}.
V_{Br}=\pi\,r_{Br}^{2}\,h_{Br} =\pi\,(0{,}02)^{2}(0{,}06) \approx0{,}00007540\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Calcular os pesos (força peso) de cada cilindro:
W_{Al}=\gamma_{Al}\,V_{Al} =18180\,(0{,}00044178) \approx8{,}035\\ \mathrm{N},
W_{Br}=\gamma_{Br}\,V_{Br} =55080\,(0{,}00007540) \approx4{,}153\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Determinar a altura do centróide de cada parte acima da base (origem em y=0 no fundo do cilindro de alumínio):
– Cilindro de alumínio: y_{Al}=\tfrac{h_{Al}}{2}=0{,}05 m.
– Cilindro de bronze: sua base está em y=0{,}10 m, portanto
y_{Br}=0{,}10+\tfrac{0{,}06}{2}=0{,}10+0{,}03=0{,}13\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Centro de gravidade do conjunto pela média ponderada:
\bar{y} =\frac{W_{Al}\,y_{Al}+W_{Br}\,y_{Br}}{W_{Al}+W_{Br}} =\frac{8{,}035\cdot0{,}05+4{,}153\cdot0{,}13}{8{,}035+4{,}153} \approx0{,}07726\\ \mathrm{m}.

Resposta

O centro de gravidade do corpo composto encontra-se a aproximadamente
\boxed{\bar{y}=77{,}3\\ \mathrm{mm}}
acima da base do cilindro de alumínio.

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