Duas cargas pontuais livres,
e
, estão afastadas por uma distância
. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio.
(a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga.
(b) Mostre que o equilíbrio é instável.
R.: Carga:
, colocada entre as cargas
a uma distância
a partir da carga
.
(a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga.
(b) Mostre que o equilíbrio é instável.
R.: Carga:
Passo 1
O enunciado dá:
- Duas cargas puntuais fixas (livres) com valores
e separadas por uma distância . - Uma terceira carga (desconhecida) é colocada de modo que “todo o sistema fica em equilíbrio”.
O que pede:
(a) determinar a posição da terceira carga (relativa às outras duas), o módulo e o sinal dessa carga;
(b) mostrar que o equilíbrio obtido é instável.
(a) determinar a posição da terceira carga (relativa às outras duas), o módulo e o sinal dessa carga;
(b) mostrar que o equilíbrio obtido é instável.
Passo 2
Escolha de coordenadas e identificação das incógnitas (organizando o problema antes de calcular). Coloco a carga
na posição
e a carga
na posição
ao longo do eixo
. Seja
a terceira carga, colocada em
(com
se estiver entre elas). As incógnitas são
e
.
Explicando a lei que vamos usar (aulas rápidas): a força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb. Em módulo:
onde:
-
é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico para resolver relações de equilíbrio), -
e são as cargas, -
é a distância entre elas.
A força é repulsiva se as cargas tiverem mesmo sinal e atrativa se tiverem sinais contrários; o sentido precisa ser tratado com sinal algébrico ao somar vetores. Em equilíbrio estático para o sistema todo, o resultado físico exigido é que a força resultante sobre cada carga seja zero (nenhuma carga tem aceleração).
Passo 3
Equações de equilíbrio para as cargas
e
.
Primeiro pense qualitativamente: para neutralizar a repulsão mútua entre
e
é necessário que a terceira carga seja de sinal oposto (negativa) e esteja entre elas, atraindo cada uma para o seu lado e assim podendo equilibrar as forças. Então consideramos
e
.
Agora escrevemos as forças (convenção: eixo
positivo para a direita).
Força sobre a carga
(em
):
- força devida à carga
(em ): repulsiva, aponta para a esquerda (negativo); - força devida a
(em ): se , é atrativa e aponta para a direita (positivo).
Equilíbrio na carga
(módulos iguais):
Cancelando
e
(assumindo
) obtemos
Força sobre a carga
(em
):
- força devida à carga
(em ): repulsiva, aponta para a direita (positivo); - força devida a
(em ): atrativa (se ), aponta para a esquerda (negativo).
Equilíbrio na carga
dá (módulos iguais):
Cancelando
e
resulta
Passo 4
Cancelar
(não nulos) e resolver:
Tirar raiz (tomando a solução positiva para distâncias):
Como assumimos que
é negativa (precisávamos de atração para equilibrar repulsões), então
Portanto a terceira carga está entre as duas, a uma distância
da carga
(isto é, em
), com valor
.
Passo 5
Verificação rápida: mostra-se que com
e
as três forças em cada carga se anulam (já usado para obter as equações), então obtivemos uma configuração de equilíbrio estático.
Passo 6
Mostrar que o equilíbrio é instável (intuição primeiro): se a terceira carga for deslocada um pouquinho para a direita, a atração da carga maior
aumenta mais do que diminui a atração da carga menor
, resultando numa força líquida que empurra a carga deslocada ainda mais para a direita — isso caracteriza instabilidade (um pequeno desvio cresce).
Argumento matemático (linearização): escrevemos a força resultante sobre
(positivo para a direita). Lembrando que
, em módulo
e com convenção de sinais:
No ponto de equilíbrio
vale
(pela construção). Para estudar estabilidade, expandimos
para pequenas variações
e olhamos o termo linear em
. Definindo
temos
. A derivada é
Note que
para todo
no intervalo
; em particular
. Assim para pequeno
Isso mostra que o sinal de
é o mesmo que o sinal de
: um deslocamento pequeno para a direita (
) gera
(empurra ainda mais para a direita); um deslocamento pequeno para a esquerda (
) gera
(puxa ainda mais para a esquerda). Isso é exatamente a definição de equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem, não há força restauradora).
Resposta
(a)
, colocada entre
e
a uma distância
a partir da carga
.
(b) O equilíbrio é instável.
(b) O equilíbrio é instável.