Duas cargas pontuais livres, +q e +9 q, estão afastadas por uma distância d. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio.
(a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga.
(b) Mostre que o equilíbrio é instável.
R.: Carga: \frac{-9 q}{16}, colocada entre as cargas +q e+9 q a uma distância \frac{d}{4} a partir da carga +q.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas cargas puntuais fixas (livres) com valores +q e +9q separadas por uma distância d.
  • Uma terceira carga (desconhecida) é colocada de modo que “todo o sistema fica em equilíbrio”.
O que pede:
(a) determinar a posição da terceira carga (relativa às outras duas), o módulo e o sinal dessa carga;
(b) mostrar que o equilíbrio obtido é instável.

Passo 2

Escolha de coordenadas e identificação das incógnitas (organizando o problema antes de calcular). Coloco a carga +q na posição x=0 e a carga +9q na posição x=d ao longo do eixo x. Seja Q a terceira carga, colocada em x (com 0<x<d se estiver entre elas). As incógnitas são x e Q.
Explicando a lei que vamos usar (aulas rápidas): a força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb. Em módulo:
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico para resolver relações de equilíbrio),
  • q_1 e q_2 são as cargas,
  • r é a distância entre elas.
    A força é repulsiva se as cargas tiverem mesmo sinal e atrativa se tiverem sinais contrários; o sentido precisa ser tratado com sinal algébrico ao somar vetores. Em equilíbrio estático para o sistema todo, o resultado físico exigido é que a força resultante sobre cada carga seja zero (nenhuma carga tem aceleração).

Passo 3

Equações de equilíbrio para as cargas +q e +9q.
Primeiro pense qualitativamente: para neutralizar a repulsão mútua entre +q e +9q é necessário que a terceira carga seja de sinal oposto (negativa) e esteja entre elas, atraindo cada uma para o seu lado e assim podendo equilibrar as forças. Então consideramos Q<0 e 0<x<d.
Agora escrevemos as forças (convenção: eixo x positivo para a direita).
Força sobre a carga +q (em x=0):
  • força devida à carga +9q (em x=d): repulsiva, aponta para a esquerda (negativo);
  • força devida a Q (em x): se Q<0, é atrativa e aponta para a direita (positivo).
Equilíbrio na carga +q (módulos iguais):
k\frac{q\cdot |Q|}{x^{2}} = k\frac{q\cdot 9q}{d^{2}}.
Cancelando k e q (assumindo q>0) obtemos
\label{eq1} |Q|=\frac{9q\,x^{2}}{d^{2}}.
Força sobre a carga +9q (em x=d):
  • força devida à carga +q (em x=0): repulsiva, aponta para a direita (positivo);
  • força devida a Q (em x): atrativa (se Q<0), aponta para a esquerda (negativo).
Equilíbrio na carga +9q dá (módulos iguais):
k\frac{9q\cdot |Q|}{(d-x)^{2}} = k\frac{9q\cdot q}{d^{2}}.
Cancelando k e 9q resulta
\label{eq2} |Q|=\frac{q\,(d-x)^{2}}{d^{2}}.

Passo 4

Determinar x igualando as expressões de |Q| obtidas em [eq1] e [eq2]:
\frac{9q\,x^{2}}{d^{2}}=\frac{q\,(d-x)^{2}}{d^{2}}.
Cancelar q/d^{2} (não nulos) e resolver:
9x^{2}=(d-x)^{2}.
Tirar raiz (tomando a solução positiva para distâncias):
3x = d-x \quad\Rightarrow\quad 4x=d \quad\Rightarrow\quad x=\frac{d}{4}.
Substituir x=\dfrac{d}{4} em [eq1] para obter |Q|:
|Q|=\frac{9q\,(d/4)^{2}}{d^{2}}=9q\frac{d^{2}}{16}\frac{1}{d^{2}}=\frac{9q}{16}.
Como assumimos que Q é negativa (precisávamos de atração para equilibrar repulsões), então
Q=-\frac{9q}{16}.
Portanto a terceira carga está entre as duas, a uma distância \dfrac{d}{4} da carga +q (isto é, em x=d/4), com valor Q=-9q/16.

Passo 5

Verificação rápida: mostra-se que com x=d/4 e Q=-9q/16 as três forças em cada carga se anulam (já usado para obter as equações), então obtivemos uma configuração de equilíbrio estático.

Passo 6

Mostrar que o equilíbrio é instável (intuição primeiro): se a terceira carga for deslocada um pouquinho para a direita, a atração da carga maior +9q aumenta mais do que diminui a atração da carga menor +q, resultando numa força líquida que empurra a carga deslocada ainda mais para a direita — isso caracteriza instabilidade (um pequeno desvio cresce).
Argumento matemático (linearização): escrevemos a força resultante sobre Q (positivo para a direita). Lembrando que Q<0, em módulo |Q| e com convenção de sinais:
F(x)=k|Q|q\left[\frac{9}{(d-x)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\right].
No ponto de equilíbrio x_0=\dfrac{d}{4} vale F(x_0)=0 (pela construção). Para estudar estabilidade, expandimos F(x) para pequenas variações x=x_0+\varepsilon e olhamos o termo linear em \varepsilon. Definindo
g(x)=\frac{9}{(d-x)^{2}}-\frac{1}{x^{2}},
temos F(x)=k|Q|q\,g(x). A derivada é
g'(x)=18\frac{1}{(d-x)^{3}}+2\frac{1}{x^{3}}.
Note que g'(x)>0 para todo x no intervalo (0,d); em particular g'(x_0)>0. Assim para pequeno \varepsilon
F(x_0+\varepsilon)\approx k|Q|q\,g'(x_0)\,\varepsilon.
Isso mostra que o sinal de F é o mesmo que o sinal de \varepsilon: um deslocamento pequeno para a direita ( \varepsilon>0) gera F>0 (empurra ainda mais para a direita); um deslocamento pequeno para a esquerda ( \varepsilon<0) gera F<0 (puxa ainda mais para a esquerda). Isso é exatamente a definição de equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem, não há força restauradora).

Resposta

(a) Q=-\dfrac{9q}{16}, colocada entre +q e +9q a uma distância \dfrac{d}{4} a partir da carga +q.
(b) O equilíbrio é instável.

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