colcule:
\int \frac{\cos 2 \theta}{2} d \theta=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos 2\theta}{2}\,d\theta.
Informações dadas: a função a integrar é \dfrac{\cos 2\theta}{2} e a variável de integração é \theta. O resultado deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada dá a integranda) mais uma constante de integração.

Passo 2

Observação sobre o formato da integral: temos um fator constante \tfrac{1}{2} multiplicando \cos 2\theta. Além disso o cosseno tem uma “composição” \cos(2\theta) — ou seja, a função interna é 2\theta. Um método natural e simples para esse tipo de integral é a substituição (u-substitution), que é a reversão da regra da cadeia na diferenciação. Vou explicar a ideia antes de aplicar.

Passo 3

Regra da substituição (explicada de forma simples): se colocarmos \displaystyle u=g(\theta), então du=g'(\theta)\,d\theta. Assim integrals da forma \int f(g(\theta))\,g'(\theta)\,d\theta podem ser reescritas como \int f(u)\,du. Aqui a vantagem é transformar uma integral em \theta numa integral mais direta em u.

Passo 4

Aplicando a substituição ao nosso caso: tome
u = 2\theta.
Então
du = 2\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral, e lembrando do fator \tfrac{1}{2} que já estava fora do cosseno, obtemos
\int \frac{\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \int \frac{\cos u}{2}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int \cos u\,du.

Passo 5

Agora integramos \cos u. A primitiva (antiderivada) de \cos u é \sin u, porque a derivada de \sin u é \cos u. (Verificação rápida: \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u.) Assim
\int \cos u\,du = \sin u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que ficou fora da integral, temos
\frac{1}{4}\int \cos u\,du = \frac{1}{4}\sin u + C.
Voltando à variável original \theta (substituindo u=2\theta), obtemos a primitiva
\frac{1}{4}\sin 2\theta + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para garantir que está certo): calcule a derivada de \dfrac{1}{4}\sin 2\theta:
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{4}\sin 2\theta\right) = \frac{1}{4}\cos 2\theta\cdot 2 = \frac{\cos 2\theta}{2},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. Lembre-se que a constante C pode ser qualquer número real.

Resposta

\dfrac{1}{4}\sin 2\theta + C

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