colcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é
e a variável de integração é
. O resultado deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada dá a integranda) mais uma constante de integração.
Passo 2
Observação sobre o formato da integral: temos um fator constante
multiplicando
. Além disso o cosseno tem uma “composição”
— ou seja, a função interna é
. Um método natural e simples para esse tipo de integral é a substituição (u-substitution), que é a reversão da regra da cadeia na diferenciação. Vou explicar a ideia antes de aplicar.
Passo 3
Regra da substituição (explicada de forma simples): se colocarmos
, então
. Assim integrals da forma
podem ser reescritas como
. Aqui a vantagem é transformar uma integral em
numa integral mais direta em
.
Passo 4
Aplicando a substituição ao nosso caso: tome
Então
Substituindo na integral, e lembrando do fator
que já estava fora do cosseno, obtemos
Passo 5
Agora integramos
. A primitiva (antiderivada) de
é
, porque a derivada de
é
. (Verificação rápida:
.) Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que ficou fora da integral, temos
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos a primitiva
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para garantir que está certo): calcule a derivada de
:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. Lembre-se que a constante
pode ser qualquer número real.