Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, na função abaixo, se houver.
Passo 1
O enunciado pede que localizemos todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - Precisamos encontrar todos os pontos críticos e classificá‑los (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática curta): um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e se anulam ali (ou não existem). Aqui as derivadas existem para todo
, então procuramos os pontos onde as derivadas parciais primeiras são zero:
Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma, mostrando como fazer:
- Para
derivamos em relação a , tratando como constante. - Para
derivamos em relação a , tratando como constante.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Agora resolvemos o sistema
Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Colocando em evidência
:
Para
obtemos
, ou seja o ponto
.
Para obtemos
, ou seja o ponto
.
Portanto os pontos críticos são
Para
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Como classificar os pontos críticos? (aula curta)
- Formamos as segundas derivadas parciais e a determinante do Hessiano:
- Definimos o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto como
Regra de classificação (segundo teste de segunda derivada para funções de duas variáveis):
- Se
e então há mínimo relativo. - Se
e então há máximo relativo. - Se
então há ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
Assim o discriminante é
Passo 6
Classificação em cada ponto crítico:
- No ponto
:
Pelo teste,
implica que
é um ponto de sela. (Explicação: sinais da curvatura em direções diferentes são opostos.)
- No ponto
:
Também
Como
e
, o ponto
é um máximo relativo.
Para completar, podemos calcular o valor da função nesse máximo:
Colocando em denominador comum
:
logo
Passo 7
Resumo final (explicando para prova): os passos práticos que você deve lembrar na prova:
- Calcule
e , resolva o sistema para achar pontos críticos. - Calcule
e o discriminante . - Avalie
e em cada ponto crítico para classificar conforme a regra do teste de segunda derivada.
Aplicando isso aqui obtemos exatamente os pontos e classificações que já encontramos.
Resposta
Máximo relativo em
com valor
Ponto de sela em
Não há mínimos relativos.
Ponto de sela em
Não há mínimos relativos.