Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, na função abaixo, se houver.
f(x, y)=x y-x^{3}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que localizemos todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
f(x,y)=x y - x^{3} - y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente f(x,y)=x y - x^{3} - y^{2}.
  • Precisamos encontrar todos os pontos críticos e classificá‑los (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática curta): um ponto (x,y) é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e se anulam ali (ou não existem). Aqui as derivadas existem para todo (x,y), então procuramos os pontos onde as derivadas parciais primeiras são zero:
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma, mostrando como fazer:
  • Para f_x derivamos f em relação a x, tratando y como constante.
  • Para f_y derivamos f em relação a y, tratando x como constante.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy - x^{3} - y^{2}\bigr)=y - 3x^{2},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy - x^{3} - y^{2}\bigr)=x - 2y.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} y - 3x^{2}=0,\\[6pt] x - 2y=0. \end{cases}
Da segunda equação temos x=2y. Substituindo na primeira:
y - 3(2y)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y - 3\cdot 4y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y - 12y^{2}=0.
Colocando em evidência y:
y(1 - 12y)=0 \quad\Rightarrow\quad y=0 \quad\text{ou}\quad y=\frac{1}{12}.
Para y=0 obtemos x=2y=0, ou seja o ponto \left(0,0\right).
Para y=\frac{1}{12} obtemos x=2y=2\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{6}, ou seja o ponto \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right).
Portanto os pontos críticos são
\left(0,0\right)\quad\text{e}\quad\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right).]

Passo 4

Como classificar os pontos críticos? (aula curta)
  • Formamos as segundas derivadas parciais e a determinante do Hessiano:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Definimos o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto como
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regra de classificação (segundo teste de segunda derivada para funções de duas variáveis):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo relativo.
  • Se D<0 então há ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y-3x^{2}\bigr)=-6x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_y\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x-2y\bigr)=-2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y-3x^{2}\bigr)=1.
Assim o discriminante é
D(x,y)=(-6x)(-2)-1^{2}=12x-1.

Passo 6

Classificação em cada ponto crítico:
  1. No ponto \left(0,0\right):
D(0,0)=12\cdot 0 - 1 = -1 <0.
Pelo teste, D<0 implica que \left(0,0\right) é um ponto de sela. (Explicação: sinais da curvatura em direções diferentes são opostos.)
  1. No ponto \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right):
D\!\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right)=12\cdot \tfrac{1}{6}-1=2-1=1>0.
Também
f_{xx}\!\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right)=-6\cdot \tfrac{1}{6}=-1<0.
Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right) é um máximo relativo.
Para completar, podemos calcular o valor da função nesse máximo:
f\!\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right) =\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{12}-\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{3}-\bigl(\tfrac{1}{12}\bigr)^{2} =\tfrac{1}{72}-\tfrac{1}{216}-\tfrac{1}{144}.
Colocando em denominador comum 432:
\tfrac{1}{72}=\tfrac{6}{432},\quad \tfrac{1}{216}=\tfrac{2}{432},\quad \tfrac{1}{144}=\tfrac{3}{432},
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f\!\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right)=\tfrac{6-2-3}{432}=\tfrac{1}{432}.

Passo 7

Resumo final (explicando para prova): os passos práticos que você deve lembrar na prova:
  • Calcule f_x e f_y, resolva o sistema f_x=0,f_y=0 para achar pontos críticos.
  • Calcule f_{xx},f_{yy},f_{xy} e o discriminante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
  • Avalie D e f_{xx} em cada ponto crítico para classificar conforme a regra do teste de segunda derivada.
    Aplicando isso aqui obtemos exatamente os pontos e classificações que já encontramos.

Resposta

Máximo relativo em \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right) com valor f\!\left(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12}\right)=\tfrac{1}{432}.
Ponto de sela em \left(0,0\right).
Não há mínimos relativos.

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