Questão 9 - Um sistema massa-mola executa um movimento harmônico simples (MHS). O bloco de massa 100 gramas do sistema MHS oscila com período T=\frac{\pi}{4} segundos com amplitude de 5 cm . Qual é a força máxima que a mola aplica ao bloco oscilante?
a) 0,64 \mathrm{~N}
b) 0,32 \mathrm{~N}
c) 0,16 \mathrm{~N}
d) 0,8 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado pede: qual é a força máxima que a mola aplica ao bloco oscilante?
Dados fornecidos:
  • massa do bloco: 100\\ \mathrm{g} (dado pelo enunciado);
  • período da oscilação: T=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{s} (dado pelo enunciado);
  • amplitude da oscilação: 5\\ \mathrm{cm} (dado pelo enunciado);
  • opções de resposta: (a) 0,64\\ \mathrm{N}, (b) 0,32\\ \mathrm{N}, (c) 0,16\\ \mathrm{N}, (d) 0,8\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Primeiro converto tudo para o sistema SI (metros, quilogramas, segundos), porque as fórmulas de dinâmica e mola usam essas unidades:
m = 100\\ \mathrm{g} = 0{,}100\\ \mathrm{kg},
A = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Lembrete físico (fórmula que usamos): a força exercida pela mola segue a Lei de Hooke:
F(x) = -k\,x,
onde k é a constante elástica da mola (unidade \mathrm{N/m}) e x é a deformação instantânea (em metros). O módulo da força é máximo quando |x| é máximo, isto é, em x=\pm A. Portanto a força máxima em módulo é
F_{\max} = k\,A.
Aqui explico as variáveis:
  • F_{\max} é a magnitude da força máxima que a mola aplica;
  • k é a constante da mola que ainda precisamos obter;
  • A é a amplitude do movimento (já convertida para metros).

Passo 4

Para encontrar k usamos a relação entre período T e constante elástica k para um sistema massa-mola sem amortecimento:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.
Breve explicação de onde vem: a equação do movimento é m\ddot{x} + kx = 0; a solução é harmônica com frequência angular \omega = \sqrt{k/m} e T = 2\pi/\omega. Nas fórmulas, m é a massa (em kg) e T é o período (em s).

Passo 5

Isolando k na fórmula do período:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{\dfrac{m}{k}} = \dfrac{T}{2\pi} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{m}{k} = \dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}}
\Rightarrow\quad k = \dfrac{4\pi^{2} m}{T^{2}}.

Passo 6

Agora substituímos T=\dfrac{\pi}{4}. Calculo T^{2}:
T^{2} = \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{2} = \dfrac{\pi^{2}}{16}.
Substituo em k:
k = \dfrac{4\pi^{2} m}{\pi^{2}/16} = 4\pi^{2}m \cdot \dfrac{16}{\pi^{2}} = 64\,m.
Ou seja, para esse valor de T a constante da mola simplifica muito: k = 64\,m.

Passo 7

Agora uso m = 0{,}100\\ \mathrm{kg}:
k = 64 \times 0{,}100 = 6{,}4\\ \mathrm{N/m}.

Passo 8

Calculo a força máxima usando F_{\max}=kA:
F_{\max} = 6{,}4 \times 0{,}05 = 6{,}4 \times \dfrac{5}{100} = \dfrac{32}{100} = 0{,}32\\ \mathrm{N}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 0,32\\ \mathrm{N}

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